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证明不等式的基本方法一、比较法一、作差比较法原理:步骤： 判号，常用方法是将“差式”
变形为一个常数，或几个因式的
乘积.作差---变形---判号---定论关键： 求证： 证：∵ ≥变式训练：二、作商比较法原理：步骤： 1、作商法的前提为a,b为
正实数；
2、在证明幂、指数不等式时常用
作商法.作商---变形---与1比较---定论注意：变式训练：已知a＞0，b＞0，用两种方法证:
证法1：
因为a＞0，b＞0，所以
所以变式训练：证法2:由于
且 所以有
证法3:因为
所以 故课堂练习:DAABQ>P>M7.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半
时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以
速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙
两人谁先到达指定地点。
解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完
这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有其中S，m，n都是正数，且m≠n,于是t1-t2<0从而可知甲比乙首先到达指定地点。即1、知识收获2、方法收获比较法及其证明步骤作差法比商法本节课你又什么收获？课堂小结谢谢大家！课件33张PPT。新人教A版 选修4—5
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证明不等式的基本方法三、反证法与放缩法1.一般步骤①反设: 假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立; ②归谬: 从假设出发, 经过推理论证, 得出矛盾; ③结论: 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确. 2.命题特点①结论本身以否定形式出现;②结论是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式; ③结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式; ④结论的反面比原结论更具体或更易于证明.反证法3.特殊结论的反设4.引出矛盾的形式①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立; ②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立; ③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾. 与②式相加得 -4
不可能同时大于1/4则三式相乘： (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a > 又∵0 < a, b, c < 1 ∴同理：以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤与①矛盾∴结论成立证明：设(1 ? a)b>1/4, (1 ? b)c>1/4, (1 ? c)a>1/4, 用放缩法证明不等式
解题准备:放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性.缩小分母?扩大分子,分式值增大;缩小分子?扩大分母,分式值减小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和. 法１： 证明：在 时，显然成立.当 时，左边 法２：法３：函数的方法 [分析] 欲证的式子中间是一个和的形式,但我们还不能利用求和公式或其他办法求,可以将分母适当放大或缩小成可以求和的形式,进而求和.变3. 巳知：a、b、c∈ ，求证：略解课堂练习3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解, 求实数 m 的取值范围. 1.证: 设三个方程的判别式分别为△1, △2, △3,由 △1+△2+△3=b2 -ac+c2 -ba+a2 -cb 即 △1+△2+△3 ≥0. 故所述三个方程中至少有一个方程有实数根. ∴△1, △2, △3 中至少有一个非负.即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|<2. ① 又∵|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2, 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥2,与①式矛盾. ∴假设不成立. 3.方程 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上有解, 求实数 m 的取值范围. 解: 先考虑 x2 -mx+4=0 在[-1, 1]上无解时 m 的取值范围.包含两种情况: ①方程 x2 -mx+4=0 无实数解;②方程有实数解, 但解不在 [-1, 1] 上.设 f(x)=x2 -mx+4, 则①等价于 △=m2 -16＜0;②等价于: 解得实数 m 取值的集合 A=(-5, 5). 故所求实数 m 的取值范围是: CRA=(-∞, -5]∪[5, +∞). 4、当 n > 2 时，求证： 证：∵n > 2 ∴ ∴n > 2时, 课堂小结 证明不等式的特殊方法:
（1）放缩法：对不等式中的有关式子进行
适当的放缩实现证明的方法。
（2）反证法：先假设结论的否命题成立，
再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结
论成立的方法。谢谢大家！课件27张PPT。新人教A版 选修4—5
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证明不等式的基本方法二、综合法和分析法③②①由变1可得一个重要的不等式：=1②①③证明：∵ a＞b ＞0变2：求证：证明：不等式显然成立原不等式即证若ac+bd≤0,
变3 ：已知c＞1，求证：证明：∵C＞1 ∴C+1＞0 C-1＞0即证-1＜0 而此式显然成立综合性问题③综合性问题1、知识收获2、方法收获综合法、分析法及其证明步骤综合法分析法本节课你又什么收获？课堂小结谢谢大家！