(共34张PPT)
1.数学归纳法方程的步骤
一般的，证明一个与正整数有关的命题时，可以按以下的步骤进行：
(1)归纳奠基:① .
;
(2)归纳递推:② .
.
证明当n取第一个值n0
(例如n0=1,n0=2等等)时，结论成立
假设当n=k(n∈N*且k≥n0)
时结论成立,证明当n=k+1时结论也成立
在完成这两个步骤的证明以后，就可以断定命题对从n0开始的所有的自然数n都正确.这种证明命题的方法叫做数学归纳法.
2.用数学归纳法证题时，应注意
(1)在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，第一步是递推的基础，缺少第一步，递推就会缺乏正确的基础.一方面，第一步再简单，也不能够省略；另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小的正整数就足够了，一般没有必要再去多考察几个正整数.
(2)第二步是递推的过程，仅有第一步而没有第二步，就失去了递推的过程.这说明了缺省了第一步这个基础，第二步的递推就没有意义了.只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性的结论.因此在完成了第一、二步的证明以后，还要有一个小结.
例 1：已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n
＝k(k≥2 且为偶数)时命题为真，则还需证明(
)
A．n＝k＋1 时命题成立
C．n＝2k＋2 时命题成立
B．n＝k＋2 时命题成立
D．n＝2(k＋2)时命题成立
题型一 对数学归纳法的两个步骤的认识
解题思路：从数学归纳法的两个步骤切入，k 的下一个偶数
是 k＋2.
解析：因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，
因 k 的下一个偶数是 k＋2.故选 B.
用数学归纳法证明时，要注意观察下列
几个方面：(1)n 的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次
数(或其他)，确定 n＝k 时命题的形式 f(k)；(3)从 f(k＋1)和 f(k)
的差异，寻找由 k 到 k＋1 递推中，左边要加(乘)上的式子．
n＋n 24
【变式训练】
B
(2)用数学归纳法证明不等式
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
>
1 13
的
过程中，由 k 推导到 k ＋ 1 时，不等式左边增加的式子是
_______________.
1
(2k＋1)(2k＋2)
＋
(k＋1)(k＋1)
－
，即
2k＋2 k＋1
(2k＋1)(2k＋2)
解析：求 f(k＋1)－f(k)即可．当 n＝k 时，左边＝
1 1
k＋1 k＋2
＋…＋
1
k＋k
.n＝k＋1 时，左边＝
1
k＋2
＋
1
k＋3
＋…＋
1
.
故左边增加的式子是
1
2k＋1
＋
1 1 1
.
2n＋1
1
1×3
＋
1
3×5
＋…＋
例2：用数学归纳 法 证明 ： n ∈ N*时 ，
n
1
＝
.
(2n－1)(2n＋1)
题型二 数学归纳法证明等式问题
＝ ，
＝ ，左边＝右边，所以等式成立．
＋…＋
，
＋…＋
k 1 k(2k＋3)＋1
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝
1 1
1×3 3
右边＝
1
2×1＋1
1
3
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，即有
1
1×3
＋
1
3×5
1
(2k－1)(2k＋1)
＝
k
2k＋1
则当 n＝k＋1 时，
1
1×3
＋
1
3×5
1
(2k－1)(2k＋1)
＋
1
(2k＋1)(2k＋3)
＝
＋ ＝
2k＋1 (2k＋1)(2k＋3) (2k＋1)(2k＋3)
2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1
＝
＝ ＝ ，
(2k＋1)(2k＋3) 2k＋3 2(k＋1)＋1
所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
证明：(ⅰ)当n=1时,左边=1- = ,右边= ,命题成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时命题成立，
即1- + - +…+ -
= + +…+ ,
变式：用数学归纳法证明：1- + - +…
+ - = + +…+ .
那么当n=k+1时，
左边=1- + - +…+ - + -
= + +…+ + -
= + +…+ + .
上式表明当n=k+1时命题也成立．
根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意的n∈N*，等式都成立．
例3：是否存在正整数m，使得f(n)=(2n+7)·3n+9对
任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的
m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
题型三 数学归纳法证明整除性问题
由f(n)=(2n+7)·3n+9,
得f(1)=36,f(2)=3×36,
f(3)=10×36,f(4)=34×36.
由此猜想m=36.
下面用数学归纳法证明：
(ⅰ)当n=1时，显然成立.
(ⅱ)假设n=k时，f(k)能被３６整除，即f(k)=(2k+7)·3k+9能被３６整除；
当n=k+1时，［2(k+1)+7］·3k+1+9=3［(2k+7)·3k+9］+18(3k-1-1),由于3k-1-1是2的倍数，故18(3k-1-1)能被36整除.这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除，m的最大值为36.
变式训练
求证：二项式 x2n－y2n(n∈N*)能被 x＋y 整除．
平面上有n个圆，每两个圆交于两点，每三个圆不过同一点，求证：这n个圆分平面为n2-n+2个部分．
题型四 数学归纳法证明几何问题
(ⅰ)当n=1时,n2-n+2=1-1+2=2,而一个圆把平面分成两部分,所以n=1时命题成立．
(ⅱ)设当n=k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即k个圆分平面为k2-k+2个部分，则n=k+1时，第k+1个圆与前k个圆有2k个交点,这2k个交点把第k+1个圆分成2k段,每一段把原来的所在平面一分为二,故共增加了2k个平面,共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个部分．
所以当n=k+1时，命题也成立．
由(ⅰ)(ⅱ)可知,这n个圆把平面分成n2-n+2个部分．
数学归纳法在高考试题中常与数列、平面几何等知识相结合来考查，对于此类问题,解决的关键往往在于抓住对问题的划分标准.
题型五 数学归纳法证明不等式问题
例6：首项为正数的数列{an}满足an+1= (an2+3),n∈N+.
(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
(2)若对一切n∈N+，都有an+1>an,求a1的取值范围.
题型六 数学归纳法与数列的交汇
(1)证明：已知a1是奇数，假设ak=2m-1是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得ak+1= =m(m-1)+1是奇数.
根据数学归纳法，对任何n∈N+,an都是奇数.
(2)(方法一)由an+1-an= (an-1)(an-3)知，an+1>an，当且仅当an<1或an>3.
另一方面，若0
若ak>3，则ak+1> =3.
根据数学归纳法，03?an>3,?n∈N+.
综合所述，对一切n∈N+都有an+1>an的充要条件是03.
(方法二)由a2= >a1，得a12-4a1+3>0，于是03.
an+1-an= - = ,
因为a1>0,an+1= ,所以所有的an均大于0，因此an+1-an与an-an-1同号.
根据数学归纳法,?n∈N+,an+1-an与a2-a1同号.
因此，对一切n∈N+都有an+1>an的充要条件是03.
变式训练：已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+b3+…+b10=100.
(1)求数列{bn}的通项bn;
(2)设数列{an}的通项an=lg(1+ )，记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 lgbn+1的大小，并证明你的结论.
可由题意先求出数列{bn}的通项bn,再根据题设条件知,要想比较Sn与 lgbn+1的大小只需要比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小即可.
（1）设数列{bn}的公差为d,
b1=1
10b1+ d=100,
b1=1
d=2
由题意得
解得
,所以bn=2n-1(n∈N*).
(2)由bn=2n-1,
知Sn=lg(1+1)+lg(1+ )+…+lg(1+ )
=lg[(1+1)(1+ )…(1+ )], lgbn+1=lg .
因此,要比较Sn与 lgbn+1的大小，
可先比较(1+1)(1+ )…(1+ )与 的大小.
取n=1,有(1+1)> ;
取n=2,有(1+1)(1+ )> ;
……
由此推测(1+1)(1+ )…(1+ )> . ①
若①式成立，则由对数函数的性质可断定：
Sn> lgbn+1.
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时,已验证①式成立.
(ⅱ)假设当n=k(k≥1，k∈Z)时，①式成立，
即(1+1)(1+ )…(1+ )> .
那么，当n=k+1时，
(1+1)(1+ )…(1+ )［1+ ］
> (1+ )
= (2k+2)= .
因为[ (2k+2)]2-( )2
= = >0,
所以 (2k+2)> = .
因而(1+1)(1+ )…(1+ )(1+ )> .
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)知,①式对任意正整数n都成立.
由此证得：Sn> lgbn+1.(共34张PPT)
课前准备
第一个人倒下，是否所有人都倒下？
第k+1个人是如何倒下？
第一，第一个人必须倒下；
第二，任意相邻的两个人，前一个人倒下一定撞到后一个.
要保证每个人都倒下，必须满足什么条件？
条件2给出了一个递推关系：
当第k个人倒下时，相邻的第k+1个人也倒下.
条件2的作用时什么？
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
（2） 假设n=k(k≥n0，k∈N* ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法.
（1） 证明当n取第一个值n0 (n0∈N* )时命题成立。
（归纳奠基）
(归纳递推)
探究任务二：提炼原理，得出概念
用框图表示为：
验证n=n0时命题成立。
若n = k ( k ≥ n 0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
命题对所有的自然数n ( n ≥ n 0)都成立。
归纳奠基
归纳递推
例 用数学归纳法证明
从n=k到n=k+1有什么变化
递推基础
递推依据
凑假设
凑结论
变式训练
用数学归纳法证明
变式训练：是否存在常数a、b、c使得等式
对于一切正整数n都成立，并证明你的结论。
(3k2＋11k＋10)，
(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
(3k＋5)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)2
下面用数学归纳法证明：
(1)当 n＝1 时，由上面可知等式成立．
(2)假设 n＝k 时等式成立，
即 1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2
＝
k(k＋1)
12
则 1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝
k(k＋1)
12
＝
k(k＋1)
12
[k(3k＋5)＋12(k＋2)]
[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．
＝
(k＋1)(k＋2)
12
＝
(k＋1)(k＋2)
12
∴当 n＝k＋1 时，等式也成立．
综合(1)(2)，对 n∈N*等式都成立．
1、知识收获
2、方法收获
数学归纳法及其证明步骤
类比法
归纳法
本节课你又什么收获？(共23张PPT)
比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小
点评：归纳－猜想－证明
解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2
当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
①
②
②
①
③
③
①
②
1.求证:
证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于
故不等式成立.
(2)假设n=k( )时命题成立,即
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,命题成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.
1.求证:
1、知识收获
2、方法收获
数学归纳法证明不等式的步骤
放缩法
归纳法
本节课你又什么收获？
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