勾股定理易考易错练习
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腾 飞 教 育
初二尖数讲义（第32期）
第六讲 勾股定理知识点过关
姓名：____________ 成绩：____________
一. 知识归纳
1. 勾股定理
内容：直角三角形__________________等于_____________；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么_____________
2. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于_____________
3. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
4. 勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是_____________，其中为______.
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是______三角形；若，时，以，，为三边的三角形是______三角形；若，时，以，，为三边的三角形是______三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是______三角形，但是______；
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.
5. 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为______，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；
（为正整数）
（，为正整数）
6. 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．
常见图形：
二. 典例分析
【题型一】直接考查勾股定理
例1. 在中，．
（1）已知，．求的长；
（2）已知，，求的长；
（3）已知=6，=10，求；
（4）已知=40，=9，求；
（5）已知=25，=15，求.
练习：如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少？
【题型二】应用勾股定理建立方程
例2. 填空
（1）在中，，，，于，＝
（2）已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
（3）已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
例3. 如图，已知：在中，∠B=60°，AC=70，AB=30. 求：BC的长.
例4. 如图中，，，，，求的长
练习（1）如图，已知：∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于P.
求证：.
练习（2）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
练习（3）如图，，AC=3，BC=4，分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
【题型三】实际问题中应用勾股定理
例5. 如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树
相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
例6. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
练习（1）如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
练习（2）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
【题型四】应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6. 已知三角形的三边长为，，，判定是否为直接三角形
①，， ②，，
例7. 三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
【题型五】方程的思想方法
例8. 如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
练习（1）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
练习（2）若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
三. 课后作业
1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（填“是”或“不是”）直角三角形．
2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．
3．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ）
A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=1
4．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
5．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．如果三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形
B．如果直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2
C．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形
D．如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为
8．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a=b，则a2=b2 B．全等三角形的周长相等
C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
9．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．
10．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
11．一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
13．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 .
14．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
15．如图所示，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2，CD=3，
BC=5，求∠ADC的度数．
16．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
17．如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。
18．如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是 cm
5m
13m
初二尖数讲义（第32期）
第六讲 勾股定理知识点过关
姓名：____________ 成绩：____________
一. 知识归纳
1. 勾股定理
内容：直角三角形__________________等于_____________；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么_____________
2. 勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于_____________
3. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在中，，则，，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
4. 勾股定理的逆定理
内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是_____________，其中为______.
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是______三角形；若，时，以，，为三边的三角形是______三角形；若，时，以，，为三边的三角形是______三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是______三角形，但是______；
③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.
5. 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为______，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等
③用含字母的代数式表示组勾股数：
（为正整数）；
（为正整数）
（，为正整数）
6. 勾股定理及其逆定理的应用
勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．
常见图形：
二. 典例分析
【题型一】直接考查勾股定理
例1. 在中，．
（1）已知，．求的长；
（2）已知，，求的长；
（3）已知=6，=10，求；
（4）已知=40，=9，求；
（5）已知=25，=15，求.
练习：如图∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长是多少？
【题型二】应用勾股定理建立方程
例2. 填空
（1）在中，，，，于，＝
（2）已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为
（3）已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为
例3. 如图，已知：在中，∠B=60°，AC=70，AB=30. 求：BC的长.
例4. 如图中，，，，，求的长
练习（1）如图，已知：∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于P.
求证：.
练习（2）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
练习（3）如图，，AC=3，BC=4，分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积
【题型三】实际问题中应用勾股定理
例5. 如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树
相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了
例6. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
练习（1）如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
练习（2）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
【题型四】应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例6. 已知三角形的三边长为，，，判定是否为直接三角形
①，， ②，，
例7. 三边长为，，满足，，的三角形是什么形状？
【题型五】方程的思想方法
例8. 如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。
练习（1）如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
练习（2）若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
三. 课后作业
1．已知△ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则△ABC______（填“是”或“不是”）直角三角形．
2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．
3．△ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（ ）
A．a=41，b=40，c=9 B．a=1.2，b=1.6，c=2
C．a=，b=，c= D．a=，b=，c=1
4．下列各命题都成立，写出它们的逆命题，这些逆命题成立吗？
（1）内错角相等，两直线平行；
（2）对顶角相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
5．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．如果三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形
B．如果直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2
C．若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形
D．如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为
8．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a=b，则a2=b2 B．全等三角形的周长相等
C．若a=0，则ab=0 D．有两边相等的三角形是等腰三角形
9．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），则这个三角形是______．
10．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
11．一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
13．等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 .
14．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ．
15．如图所示，四边形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2，CD=3，
BC=5，求∠ADC的度数．
16．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
17．如果梯子底端离建筑物5m，那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是____________m。
18．如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是 cm
5m
13m