人教版九年级上册数学21.2.4解一元二次方程——一元二次方程的根与系数的关系教 案

第二十一章
一元二次方程
21.2
解一元二次方程
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1．理解并掌握根与系数的关系：．
2．会用根与系数的关系、根的判别式解决问题．
二、教学重点及难点
重点：一元二次方程根与系数关系的推导过程．
难点：利用一元二次方程根与系数的关系解题．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《小明与小青悄悄话》动画，。
五、教学过程
【创设情景，提出问题】
前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：
小明：小青，我有一个秘密，你想听吗？
小青：什么秘密？
小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
小青：哦？
小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄还是方程的两根的和呢．
小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄．
设计意图：创设一个情境，激发学生学习数学的兴趣．
【合作探究，形成知识】
问题1
从因式分解法可知，方程（x－x1）（x－x2）＝0（x1，x2为已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
师生活动：让学生分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现：
（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．
（2）把方程（x－x1）（x－x2）＝0的左边展开，化成一般形式，得方程
x－（x1＋x2）x＋x1x2＝0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p＝－（x1＋x2），常数项q＝x1x2.
于是，上述方程两根的和、积与系数的关系为：
（x1＋x2）＝－p，x1x2＝q．
问题2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？你能利用求根公式推导根与系数的关系吗？
师生活动：学生探讨，试写推导过程，教师巡视后给出规范推导过程．
一元二次方程的两根是：
．
由此可得，
．
（1）用语言叙述规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．
（2）的两根是，用式子表示规律：．
此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【数学探究】根与系数关系》，可以通过展现一元二次方程根与系数关系的推理过程。
归纳总结：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．
设计意图：二次项系数为1和二次项系数不为1的题目,系数性质符号各有不同．让学生尽量体会与猜想两根和、两根积与系数之间的关系．在已有公式法解一元二次方程的知识的基础上，可以最快速度说出和的值，接下来将用字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式和，得出根与系数关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程中遇到的问题．还可以让学生体会数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中的一些结论并不是高不可攀的．
3．例题分析：
例1
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
（1）；（2）；（3）．
师生活动：让学生根据根与系数的关系，独立解决上述问题．教师巡视学生的掌握情况，指导困难学生．
解：（1）．
（2）．
（3）方程化为．．
教师引导：只要把一元二次方程化成一般式，找对a，b，c，代入韦达定理即可求解．
设计意图：直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，引导学生发现应用根与系数的关系解决两根和与两根积的问题不需求出复杂的两根．
例2
已知方程的一个根是－3，求另一个根及k的值．
师生活动：找一名学生上黑板解答，其他同学交流做法，老师巡视辅导．针对在黑板上解答的学生出现的问题，进行讲解．
解：设已知方程的另一个根是x1，由题意可得．
所以．故方程的另一个根为．
所以．
解得k=3．
教师引导：本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数的关系应该掌握的内容．此外，还可以让学生应用多种方法解决问题，进一步培养学生的发散思维．
【练习巩固，综合应用】
1．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个解,若(m－1)(n－1)=－6,则a的值为（
）．
A．－10
B．4
C．－4
D．10
2．设是方程的两个实数根，则的值为（
）．
A．2
012
B．2
013
C．2
014
D．2
015
3．若方程的两个根为，则的值为（
）．
A．3
B．－3
C．
D．
4．已知x=1是方程的一个根，则方程的另一个根为
，
．
5．求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
6．已知关于x的方程的两个根是m和n，且3m＋2n=20，求k的值．
7．已知是一元二次方程的两个实数根,求的值．
设计意图：加深对一元二次方程根与系数关系的理解，培养学生的应用意识和能力，渗透整体代入思想．考查一元二次方程根与系数的关系及其综合运用．
目标检测答案
1．C
2．C
3．B
4．2，-3
5．解：（1）方程化为．．
（2）．
（3）方程化为．．
（4）方程化为．．
6．解：∵m，n是方程的两个根，
∴
①×2－③，得－m=－8．
∴m=8．
将m=8代入①，得n=－2．
将m=8，n=－2代入②，得k=8×(－2)=－16．
∵当k=－16时，=36－4k=100＞0，
∴k=－16．
7．根据一元二次方程根与系数的关系可知．
所以．
六、课堂小结
1．一元二次方程根与系数的关系
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
2．数学语言表述
若一元二次方程的两个根是，则
．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
21.2解一元二次方程
——21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
1．一元二次方程根与系数的关系
2．数学语言表述