5.2.2用函数模型解决实际问题 课件-2021-2022学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册(35张PPT）

5.2.2用函数模型解决实际问题
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合,列出函数解析式.
2.会建立函数模型解决实际问题.
引言
函数模型是应用最广泛的数学模型之一，
它在实际生活中的应用非常地广泛， 不同的函
数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.
如果实际问题中的变量与变量之间的关系一旦
被认定为是函数关系就可以将实际问题转化为
数学问题， 建立一个函数模型， 通过研究函数
的性质， 从而更好地去把握问题， 分析问题上，
使实际问题得以解决.
1.常见的函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)?二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
注意：二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见
(3)?指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，?b?>0且b≠1)
(4)?对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)?幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
(6)分段函数模型：这个模型实质上是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛
2.拟合函数模型
建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
2.四步解答实际问题
审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型
建模
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
求模
求解数学模型，得出数学模型；
还原
将数学结论还原为实际问题.
环节一
一次二次模型
①拟合一次二次模型
例1.某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f(x)(单位：万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下：则f(x)近似符合以下三种函数模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你认为最适合的函数模型的序号是____.
①拟合一次二次模型
例2.某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0，5])
(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
[解析]　(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，
故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.
①拟合一次二次模型
例3.同学最近5年内的学习费用y(单位:千元)与时间x(单位:年)的关系如图所示,则可选择的函数模型是(　　)
A.y=ax+b B.y=ax2+bx+c
C.y=aex+b D.y=aln x+b
答案:B
②已知一次二次模型
③建立一次二次模型
例5.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
[解析]　据题意知：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．
③建立一次二次模型
例6.某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是____.
[解析]　依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝a，∴y＝b·20%·x＝a·20% ·x，即y＝x(x∈N＋)．
③建立一次二次模型
例7.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销量为1 000.为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围？
③建立一次二次模型
环节一
分式型模型
②已知分式模型
②已知分式模型
②已知分式模型
②已知分式模型
②已知分式模型
③建立分式模型
例10.沿海地区某村在2011年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万，从2012年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2012年起的第x年(2012年为第一年)该村人均产值为y万元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)为使该村的人均产值10年内每年都有增长，那么该村每年人口的净增长不能超过多少人？
?
③建立分式模型
环节三
指对模型
①拟合指对模型
例11.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:
①拟合指对模型
②已知指对模型
例12.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一(　　)
?A.8 B.16 C.24 D.32
②已知指对模型
例13.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,其飞行速度为1m/s,
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？
②已知指对模型
例13.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,其飞行速度为1m/s,
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s,则其耗氧量至少要多少个单位？
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2m/s则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s则其耗氧量至少要270个单位．
②已知指对模型
③建立指对模型
③建立指对模型
例16.一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.则这种放射性元素的半衰期为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期.精确到0.1.已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　　)
A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3
环节四
幂模型
已知幂模型
例17.某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
已知幂模型
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？