2022届高中数学新人教A版必修第一册 5.3诱导公式1 学案（Word含答案）

5．3　诱导公式(1)
内　容　标　准
学　科　素　养
1.借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四)．
直观想象数学运算
2.了解诱导公式的意义和作用.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
授课提示：对应学生用书第87页
[教材提炼]
知识点一　诱导公式(二)
如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？
　　　
知识梳理　公式二
sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
知识点二　诱导公式(三)
如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？
　　　
知识梳理　公式三
sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
知识点三　诱导公式(四)
如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？
　　　
知识梳理　公式四
sin(π－α)＝sin_α，
cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
[自主检测]
1．已知tan
α＝4，则tan(π－α)等于(　　)
A．π－4　　
B．4　　　
C．－4　　　
D．4－π
答案：C
2．sin
585°的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
3．已知sin
α＝，则sin(π－α)＝________.
答案：
4．若tan(π＋α)＝，则tan
α＝________.
答案：
授课提示：对应学生用书第88页
探究一　给角求值
[例1]　求下列各三角函数的值：
(1)sin(－945°)；(2)cos(－)；
(3)sinπ·cos(－π)·tanπ.
[解析]　(1)法一：sin(－945°)＝－sin
945°＝－sin(225°＋2×360°)
＝－sin
225°＝－sin(180°＋45°)
＝sin
45°＝.
法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)
＝sin
135°
＝sin(180°－45°)＝sin
45°＝.
(2)法一：cos(－)＝cos
＝cos(＋4π)
＝cos
＝cos(π＋)＝－cos
＝－.
法二：cos(－)＝cos(－6π)＝cos
＝cos(π－)＝－cos
＝－.
(3)原式＝sin·cos(2π＋)·tan(4π＋)
＝sin·cos·tan
＝sin(π＋)·cos(π＋)·tan(π＋)
＝(－sin)·(－cos)·tan
＝(－)×(－)×1＝.
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
求值：cos(2nπ＋)·sin(nπ＋)．
解析：①当n为奇数时，原式＝cos
·(－sin
)
＝cos(π－)·[－sin(π＋)]
＝(－cos
)·sin
＝－×＝－.
②当n为偶数时，原式＝cos
·sin
＝cos(π－)·sin(π＋)
＝(－cos)·(－sin
)
＝－×(－)＝.
探究二　给值求值
[例2]　[教材P195第8题拓展探究]
(1)已知sin(－x)＝，则sin(π－x)＝________.
[解析]　sin(π－x)＝sin[π＋(－x)]＝－sin(－x)＝－.
[答案]　－
(2)已知sin(－x)＝，且0＜x＜，则tan(π＋x)＝________.
[解析]　∵0＜x＜，∴－＜－x＜.
又sin(－x)＝＞0，∴0＜－x＜.
cos(π＋x)＝cos[π－(－x)]＝－cos(－x)＝－＝－＝－，
sin(π＋x)＝sin[π－(－x)]＝sin(－x)＝，
∴tan(π＋x)＝＝＝－.
[答案]　－
　已知cos＝，求cos－sin2的值．
解析：因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2
＝1－cos2＝，
所以cos－sin2
＝－－＝－.
(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
探究三　化简三角函数式
[例3]　化简cos(π＋x)＋cos(π－x)(n∈Z)．
[解析]　原式＝cos(nπ＋＋x)＋cos(nπ－－x)．
(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cos[(2k＋1)π＋＋x]＋cos[(2k＋1)π－－x]
＝－cos(＋x)－cos(－－x)
＝－2cos(＋x)；
(2)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cos(2kπ＋＋x)＋cos(2kπ－－x)
＝cos(＋x)＋cos(－－x)＝2cos(＋x)．
故原式＝.
利用诱导公式化简三角函数式的注意点
(1)当碰到kx±α(k∈Z)的形式时，要注意对k分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．
(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如kπ－α＝2kπ－(kπ＋α)，k∈Z.
　化简：cos(kπ＋)sin(kπ－π)(k∈Z)．
解析：当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝cos(2nπ＋)sin(2nπ－)
＝－cossin＝－cossin(π－)
＝－cossin＝－×＝－.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝cos(2nπ＋π＋)sin(2nπ＋π－)
＝cos(π＋)sin＝－cossin
＝－×＝－.
综上，原式＝－.
授课提示：对应学生用书第89页
一、角的终边关系与诱导公式的拓展
在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：
α与β的终边关于x轴对称
α＋β＝2kπ(k∈Z)
α与β的终边关于y轴对称
α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)
α与β的终边关于直线y＝x对称
α＋β＝π(k∈Z)
α与β的终边关于直线y＝－x对称
α＋β＝π(k∈Z)
α与β的终边在同一条直线上
α－β＝kπ(k∈Z)
α与β的终边垂直
α－β＝π(k∈Z)
公式一～四拓展为sin(nπ＋α)＝(－1)nsin
α，cos(nπ＋α)＝(－1)ncos
α.
[典例]　化简：(k∈Z)．
[解析]　原式＝
＝＝－1.
[答案]　－1
二、盲目套用公式
[典例]　若tan(5π＋α)＝m，则的值为________．
[解析]　由tan(5π＋α)＝m，得tan
α＝m.于是原式＝＝＝.
[答案]　
纠错心得　此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．
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