2022届高中数学新人教A版必修第一册 5.7三角函数的应用 学案（Word含答案）

5．7　三角函数的应用
内　容　标　准
学　科　素　养
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题．
数学建模数学运算
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
授课提示：对应学生用书第116页
[教材提炼]
知识点　科学试验、生活中的三角函数
　现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么可以考虑什么函数来描述？　　　
知识梳理　简谐运动
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相．
[自主检测]
1．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，，　　　　　　
B．6π，，
C．3π，3，－
D．6π，3，
答案：B
2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6π，φ＝
答案：A
3．弹簧振子的振幅为2
cm，在6
s内振子通过的路程是32
cm，由此可知该振子振动的(　　)
A．频率为1.5
Hz
B．周期为1.5
s
C．周期为6
s
D．频率为6
Hz
答案：B
4．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s
的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
答案：1
s
授课提示：对应学生用书第117页
探究一　三角函数在物理中的应用
[例1]　[教材P242拓展探究]
(1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题．
①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
③经过多长时间小球往复振动一次？
(2)已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ).
①如图是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
②如果t在任何一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
[解析]　(1)列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
①将t＝0代入s＝4sin，
得s＝4sin
＝2，
所以小球开始振动时的位移是2
cm.
②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和－4
cm.
③因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
(2)①由题图可知A＝300.
设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝
2＝，∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|＜，∴φ＝.
故所求函数的解析式为I＝300sin.
②依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，
∴ω≥300π≈942.48.
又ω∈N
，故ω的最小正整数值为943.
三角函数解决物理问题的三个关键量
(1)物体运动的初始位置，即初相．
(2)完成一次运动需要的时间，即周期．
(3)离开平衡位置的最大位移，即振幅．
探究二　三角函数在生活中的应用
[例2]　估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的表达式是D(t)＝sin
(t－79)＋12，其中t(t∈Z)表示某天的序号，t＝0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)在波士顿，k＝6，试画出当0≤t≤365时函数的图象；
(2)在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时．
[解析]　(1)先用五点法作出f(t)＝3sin
(t－79)的简图，由(t－79)＝0及(t－79)＝2π，得t＝79及t＝444.
当t＝0时，f(0)＝3sin
(－79)≈3sin(－1.36)≈－2.9.
∵f(x)的周期为365，∴f(365)≈－2.9.
将f(t)在[0,365]上的图象向上平移12个单位，就得D(t)的图象(如图所示)．
(2)白昼时间最长的一天，即D(t)取最大值的一天，此时t≈170，对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，t≈353时D(t)取最小值，即12月20日(闰年除外)白昼最短．
(3)D(t)>10.5，即3sin
(t－79)＋12>10.5，
sin
(t－79)>－，t∈[0,365]．
∴292>t≥49,292－49＝243.故约有243天的白昼时间超过10.5小时．
已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般较容易，只需根据函数解析式并结合题中所提供信息即可求解．
　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－2sin，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11
℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解析：(1)因为f(t)＝10－2sin，
又0≤t＜24，
所以≤t＋＜，
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12
℃，最低温度为8
℃，最大温差为4
℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin＞11，
即sin＜－.
又0≤t＜24，所以＜t＋＜，
即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．
探究三　根据数据拟合函数
[例3]　某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)
[解析]　(1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝，∴y＝3sin
t＋10.
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sin
t＋10≥11.5，
∴sin
t≥.①
∵0≤t≤24，
∴0≤t≤4π.②
由①②得≤t≤π或π≤t≤π.
化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时．
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos
ω
t＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：(1)由表中数据可知，T＝12，
所以ω＝.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cos
t＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以y＝cos
t＋1>1，cos
t>0,2kπ－即12k－3又0≤t≤24，
所以0≤t<3或9授课提示：对应学生用书第118页
一、“众人皆醉我独醒”——三角换元的独特之用
换元法又称辅助元素法，“三角换元”是其中一种换元方法，即把某个式子用某一三角函数表示，将问题转化为三角函数问题，也是三角函数的一种应用．
[典例]　实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k＞0恒成立，求k的取值范围．
[解析]　由＋＝1，设则
代入不等式x＋y－k＞0得3cos
θ＋4sin
θ－k＞0，
即k＜3cos
θ＋4sin
θ＝5sin(θ＋φ)，所以k＜－5.
二、因对y＝Asin(ωx＋φ)表示的实际意义理解不清致误
[典例]　弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5
s内通过的路程及位移．
[解析]　(1)设振幅为A，则2A＝20
cm，
所以A＝10
cm.
设周期为T，则＝0.5
s，所以T＝1，所以f＝1
Hz.
(2)振子在1
s内通过的距离为4A，故在5
s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200
(cm)．
5
s末物体处在B点，所以它的位移为0
cm.
纠错心得　1.本题易出现以下两方面错误：
(1)没有正确理解振幅的含义，且以为从B点到达C点就是运动了一个周期；(2)混淆了路程与位移的概念．
2．在求解三角函数模型的简单应用时，常用正弦函数模型y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移与随时间x变化规律．其中：(1)A为振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移：(2)T＝为周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f＝＝为频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
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