2022届高中数学新人教A版必修第一册 第4章 微专题4与对数函数有关的复合函数 学案

微专题4　与对数函数有关的复合函数
与对数函数有关的复合函数，主要是对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．
类型1　对数型复合函数的单调性
【例1】　讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[解]　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为.
①当a＞1时，若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数；
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
②当0＜a＜1时，若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
【例2】　已知函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解]　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上单调递减，∵0<<1，∴y＝g(x)是关于g(x)的减函数．而已知复合函数y＝(x2－ax＋a)在区间(－∞，)上单调递增，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2＋2]．
类型2　对数型复合函数的值域
【例3】　求函数f(x)＝(1＋2x－x2)的值域．
[解]　令u＝1＋2x－x2，可得0＜u≤2，
因为y＝u在(0,2]上是递减的，
所以u∈[－1，＋∞)．
故f(x)＝log(1＋2x－x2)的值域为[－1，＋∞)．
【例4】　求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．
[解]　f(x)＝log2(4x)·
＝(log2x＋2)·
＝－[(log2x)2＋log2x－2]．
设log2x＝t.
∵x∈，∴t∈[－1,2]，
则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，
因此二次函数图象的对称轴为t＝－，
∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，
∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.
当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.
∴f(x)的值域为.
类型3　对数型复合函数的奇偶性、单调性
【例5】　已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)为偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解]　(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴ln(1－x)＋ln(a＋x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)，
∴ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln(a－x)－ln(a＋x)，
∴ln＝ln，∴＝，
整理得2x(a－1)＝0，
∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，
要使函数f(x)有意义，应满足，
∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
设任意x1，x2∈(－1,1)，且x1∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1)＝ln(1－x)－ln(1－x)
当－1x，1－x<1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)>0，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1,0)上是增函数，
当0≤x1x1－x，
∴ln(1－x)>ln(1－x)，
∴ln(1－x)－ln(1－x)<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)∴f(x)在[0,1)上是减函数．
综上可知，函数f(x)在(－1,0)上是增函数，在[0,1)上是减函数．