2021-2022学年冀教新版九年级上册数学《第26章 解直角三角形》单元测试卷（word版有答案）

2021-2022学年冀教新版九年级上册数学《第26章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则sinA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（　　）
A．都扩大2倍
B．都缩小2倍
C．都不变
D．正弦值扩大2倍，余弦值缩小2倍
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中不一定成立的是（　　）
A．tanA＝
B．sin2A+sin2B＝1
C．sin2A+cos2A＝1
D．sinA＝sinB
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
6．2cos30°的值等于（　　）
A．1
B．
C．2
D．
7．某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（　　）
A．2～3
B．3～4
C．4～5
D．5～6
8．已知函数y＝x+1的图象为直线l，点P（2，1），则点P到直线l的距离为（　　）
A．2
B．1
C．
D．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB
B．b＝csinB
C．a＝btanB
D．b＝ctanB
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝　
　．
12．用科学计算器计算：2×sin15°×cos15°＝　
　．
13．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则边AC的长是　
　．
14．sin245°+cos60°＝　
　．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA的值是　
　．
16．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC＝　
　．
17．若∠A是锐角，cosA＞，则∠A应满足　
　．
18．已知sinα＝，则tanα＝　
　．
19．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB＝　
　．
20．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝　
　，tan∠APD的值＝　
　．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．已知∠A为锐角且sinA＝，则4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A的值是多少．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
24．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD＝8cm，∠ADB＝30°．
（1）请直接写出AF的长；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．
25．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．
26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cosA的值．
27．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则sinA＝＝＝．
故选：B．
2．解：∵Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，
∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，
锐角A的正弦与余弦的比值不变．
故选：C．
3．解：根据同角的三角函数的关系：tanA＝，sin2A+cos2A＝1，sinB＝sin（90°﹣∠A）＝cosB，可知只有D不正确．
故选：D．
4．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
∴设BC＝5k，则AB＝13k，
根据勾股定理可以得到：AC＝＝12k，
∴tanA＝＝＝．
故选：B．
5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
设BC＝3x，则AB＝5x，
∴AC＝4x．
∴cosB＝＝．
故选：C．
6．解：2cos30°＝2×＝，
故选：D．
7．解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
8．解：如图，
∵直线y＝x+1，交y轴于C（0，1），交x轴于A（﹣，0），
∴OC＝1，OA＝，过点P作PD⊥AC于D，
∴tan∠CAO＝60°，
∵C（0，1），P（2，1），
∴PC＝2，PC∥OA，
∴∠DCP＝∠CAO＝60°，
∴PD＝PC?sin60°＝，
则点P到直线的距离是．
故选：C．
9．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinB＝，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；
tanB＝，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理，得
BC＝＝＝4．
cosB＝＝，
故选：B．
二．填空题
11．解：由sinA＝知，如果设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴cosA＝＝．
12．解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．
故答案为0.5．
13．解：△ABC中，∠C＝90°，
所以sinA＝＝，
而BC＝2，
所以AB＝3，
所以AC＝＝．
故答案为．
14．解：原式＝（）2+
＝+
＝1．
故答案为：1．
15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴sinA＝＝．
故答案为．
16．解：在格点三角形ADC中，AD＝2，CD＝4，
∴AC＝，
∴cosC＝，
故答案为：．
17．解：∵cos30°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴0°＜∠A＜30°．
18．解：如图：设∠A＝α，
∵sinα＝，
∴＝，
设AB＝5x，BC＝3x，
则AC＝＝4x，
∴tanα＝＝．
故答案为：．
19．解：如图所示，
∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴设BC＝4x，则AC＝3x，
∴AB＝＝5x，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
20．解：∵四边形BCED是正方形，
∴DB∥AC，
∴△DBP∽△CAP，
∴＝＝3，
连接BE，与CD的交点为F，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2，
故答案为：3，2．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵∠A为锐角，且sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴cosA＝，2sinA﹣cosA＝2×﹣＝1﹣，
∴4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A
＝（2sinA﹣cosA）2
＝（1﹣）2
＝1﹣+
＝﹣．
23．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
24．解：（1）AF＝；
（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：
①当AK＝FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN＝NF＝AF＝2cm．
在直角△NFK中，∠KNF＝90°，∠F＝30°，
∴KN＝NF?tan∠F＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KN＝；
②当AF＝FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．
在直角△PFK中，∠KPF＝90°，∠F＝30°，
∴KP＝KF＝2cm．
∴△AFK的面积＝×AF×KP＝12cm2．
25．解：作PC⊥x轴于C．
∵tanα＝，OC＝6
∴PC＝8．
则OP＝10．
则sinα＝．
26．（1）证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴
∴
∴
解得FC＝2
∴AF＝6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝＝＝＝．
27．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．