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14.1.2直角三角形三边的判定
学案
课题
14.1.2直角三角形三边的判定
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题；
2、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题。
重点
难点
重点:理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。
难点:理解勾股定理逆定理的推导。
导学
环节
导学过程
导
入
学
习
1.直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
忆一忆
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余
)；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方
.（即勾股定理）
反之,一个三角形满足什么条件
才能是直角三角形呢?
想一想
2.一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?（从角方面考虑）
1)有一个角是直角的三角形是直角
2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；三角形；
3)如果一个三角形的三边a
,b
,c
满足
什么条件时，这个三角形是直角三角形？
讲
授
新
课
探究一：
古埃及人曾经用下面的方法画直角:将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图14.1.8那样用桩钉钉成一个三角形,他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗?
图14.1.8
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:
(1)
a=3，b=4，c=5;
(2)
a
=
4，b=6，c=8;
(3)
a
=
6，b=8，c=10.
你画的三角形如何?
勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=
c2
,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
探究二：
已知:如图14.1.9(1)
,在△ABC中，AB
=
c,
BC
=a,
AC=
b，a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
探究三：
例4
已知△ABC,AB=n2-1，BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
想一想，为什么选择AB2+BC2
？AB、BC、CA的大小关系是怎样的?
注意：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边;
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2-b2=c2,那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长.
课
堂
练
习
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是(
)
A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
B
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形
(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
A
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,
依次得到的面
积是25,
144
,
169,
则这个三角形是______三角形.
直角
4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗?为什么?
解：是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的逆定理.
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理，知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴
△BEF是直角三角形.
答
案
参考答案
合作探究：
探究一：
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角;按(2)所画的三角形不是直角三角形.
在这三组数据中，(1)、(3)两组数据恰好都满足a2+b2=c2.
探究二：
证明：如图14.1.9(2)
,作△A'B'C'
,
使∠C'=
90°,A'C'=
b,
B'C'=
a,
则A'B'2
=
a2+
b2=
c2，即A'B'
=
c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=
a=
B'C'
AC
=
b=
A'C'，
AB
=
c=A'B',
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠C=∠C'=90°.
探究三：
解
∵AB2+
BC2=
(n2-1)2+
(2n)2
=
n4-2n2+1+4n2
=
n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC是直角三角形
边AC所对的角是直角.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例如,3、4、5,
6、8、10,
n2-1、2n、n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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14.1.2
直角三角形的判定
1.直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余
)；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方
.
反之,一个三角形满足什么条件
才能是直角三角形呢?
忆一忆
（即勾股定理）
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形的三边a
,b
,c
满足
什么条件时，这个三角形是直角三角形？
2.一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
想一想
???
（从角方面考虑）
（从边方面考虑）
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
你知道吗
你知道这是什么道理吗?
活动1：请三个同学上台演示古埃及人画直角的方法
活动2：请一个同学上台测量所得的三角形最大的角的度数
想一想：这个同学量得的最大角是什么类型的角？所以所得的三角形是什么三角形？你知道这是什么道理吗?
试一试
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:
(1)
a=3，b=4，c=5;
(2)
a=4，b=6，c=8;
(3)
a=6，b=8，c=10.
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角;按(2)所画的三角形不是直角三角形.
在这三组数据中，(1)、(3)两组数据恰好都满足
a2+b2=c2.
你画的三角
形如何?
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2
,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
已知:如图14.1.9(1)
,在△ABC中，AB
=c,
BC=a,
AC=b，a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
C
A
B
C'
A'
B'
(1)
(2)
图14.1.9
证明：如图14.1.9(2)
,作△A'B'C'
,
使∠C'=90°,A'C'=b,
B'C'=a,
则A'B'2
=a2+b2=
c2，即A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=a=B'C'
AC=b=A'C'，
AB=c=A'B',
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠C=∠C'=90°.
C
A
B
C'
A'
B'
(1)
(2)
图14.1.9
例4
已知△ABC,AB=n2-1，BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
解
∵AB2+BC2=(n2-1)2+
(2n)2
=
n4-2n2+1+4n2
=
n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC是直角三角形
边AC所对的角是直角.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例如,3、4、5,
6、8、10,
n2-1、2n、
n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
想一想，为什么选择AB2+BC2
？AB、BC、CA的大小关系是怎样的?
注意：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边;
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2-b2=c2,那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长.
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是(
)
A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形
(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
B
A
当堂练习
4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗?为什么?
解：是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的逆定理.
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,
依次得到的面
积是25,
144
,
169,
则这个三角形是______三角形.
直角
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理，知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴
△BEF是直角三角形.
基础作业：
课本P114练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P114练习第3题
课题：14.1.2
直角三角形的判定
?
教师板演区
?
学生展示区
一、直角三角形的判定
二、例题
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14.1.2
直角三角形的判定
教案
课题
14.1.2
直角三角形的判定
单元
第14单元
学科
数学
年级
七年级（上）
学习目标
1、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题；2、探索并掌握直角三角形判别思想，理解并掌握勾股定理的逆定理，会用勾股逆定理解决实际问题。
重点难点
重点:理解并掌握勾股定理的逆定理，并会应用。难点:理解勾股定理逆定理的推导。
教学环节
教师活动
设计意图
导入新课
课堂小结
1.直角三角形有哪些性质？（从边、角两方面考虑）
忆一忆
(1)有一个角是直角
(2)两个锐角的和为90°(互余
)；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方
.
（即勾股定理）
反之,一个三角形满足什么条件
才能是直角三角形呢?
想一想
2.一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
（从角方面考虑）
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形的三边a
,b
,c
满足
什么条件时，这个三角形是直角三角形？
(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；
???
（从边方面考虑）
你知道吗
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.
你知道这是什么道理吗?
活动1：请三个同学上台演示古埃及人画直角的方法
活动2：请一个同学上台测量所得的三角形最大的角的度数
想一想：这个同学量得的最大角是什么类型的角？所以所得的三角形是什么三角形？你知道这是什么道理吗?
试一试
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形:
(1)
a=3，b=4，c=5;
(2)
a=4，b=6，c=8;
(3)
a=6，b=8，c=10.
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角;按(2)所画的三角形不是直角三角形.
在这三组数据中，(1)、(3)两组数据恰好都满足
a2+b2=c2.
你画的三角
形如何?
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2
,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
已知:如图14.1.9(1)
,在△ABC中，AB
=c,
BC=a,
AC=b，a2+b2=c2.
求证:∠C=90°.
证明：如图14.1.9(2)
,作△A'B'C'
,
使∠C'=90°,A'C'=b,
B'C'=a,
则A'B'2
=a2+b2=
c2，即A'B'=c.
在△ABC和△A'B'C'中，
BC=a=B'C'
AC=b=A'C'，
AB=c=A'B',
∴△ABC≌△A'B'C'.
∴∠C=∠C'=90°.
例4
已知△ABC,AB=n2-1，BC=2n,AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗?若是,哪一条边所对的角是直角?请说明理由.
解
∵AB2+BC2=(n2-1)2+
(2n)2
=
n4-2n2+1+4n2
=
n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2
∴△ABC是直角三角形
想一想，为什么选择AB2+BC2
？AB、BC、CA的大小关系是怎样的?
边AC所对的角是直角.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
例如,3、4、5,
6、8、10,
n2-1、2n、
n2+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数.
注意：
(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不能说斜边或直角边;
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2-b2=c2,那么这个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长.
当堂练习
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是(
)
A.3∶4∶7
B.5∶12∶13
C.1∶2∶4
D.1∶3∶5
B
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形
(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
A
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,
依次得到的面
积是25,
144
,
169,
则这个三角形是______三角形.
直角
4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗?为什么?
解：是直角三角形，因为a2+b2=c2,满足勾股定理的逆定理.
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.
解:由题意可知△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理，知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25，
∴BE2+EF2=BF2.
∴
△BEF是直角三角形.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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