2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第23章 解直角三角形》单元测试卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 460.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-17 19:56:02 | ||
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文档简介
2021-2022学年沪科新版九年级上册数学《第23章
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果∠A为锐角，且sinA＝0.6，那么（ ）
A．0°＜A≤30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A≤90°
3．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
5．2cos45°的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
6．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cotA＝
9．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．
B．
C．
D．2
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．
+1
B．﹣1
C．
D．
二．填空题
11．AE、CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于
．
12．用计算器计算：sin35°≈
，
（保留4个有效数字）．
13．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝
．
14．若0°＜α＜90°，，则sinα＝
．
15．Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝
．
16．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，AC＝1，则∠ACB为
度．
17．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为
，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系
．
18．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：
．
19．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是
．
20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，那么GE＝
．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90?，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
24．计算：2cos60°+4sin60°?tan30°﹣6cos245°．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA?cosA的值．
26．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
27．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα
cosα；若∠α＜45°，则sinα
cosα；若∠α＞45°，则sinα
cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，连接BD，
由正方形的性质可知，∠CDB＝90°，BD＝，BC＝，
则sinC＝＝，
故选：B．
2．解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sinA＝0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故选：B．
3．解：过点P作PE⊥x轴于点E，
则可得OE＝3，PE＝m，
在Rt△POE中，tanα＝＝，
解得：m＝4，
则OP＝＝5，
故sinα＝．
故选：A．
4．解：在直角三角形中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴cosB＝sinA＝．
故选：A．
5．解：原式＝2×＝．
故选：B．
6．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC＝＝，
故选：C．
7．解：sinA＝＝0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
8．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴由勾股定理可得AB＝17，
∴sinA＝＝，故A选项错误；
cosA＝＝，故B选项错误；
tanA＝＝，故C选项错误；
cotA＝＝，故D选项正确；
故选：D．
9．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
10．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二．填空题
11．解：如图，由锐角三角函数的定义可知，
∵sinA＝，sinC＝，
∴sinA：sinC＝：＝FC：AE＝2：3．
故答案为：2：3．
12．解：sin35°≈0.5736，
6.403．
13．解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝＝4，
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA＝＝＝2．
故答案为：2．
14．解：
如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝α，
tanB＝＝，
设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k，
则sinα＝sinB＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设BC＝x，则AC＝2x，
∴AB＝＝x．
∴sinB＝＝．
16．解：如图，作AD⊥BC于D，AC＝AC′＝1，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝，
∴AD＝AB＝，
在Rt△ACD中，
sinC＝＝，
∴∠C＝60°，
同理可得∠AC′D＝60°，
∴∠AC′B＝120°．
故答案为60°或120°．
17．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，
又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，
即cosA＝，
∴余弦的定义为cosA＝；
∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，
∴cos20°＞cos40°＞cos50°，
∴sin70°＞cos40°＞cos50°，
故答案为：cosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．
18．解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0，
即cosA＝，tanB＝1，
所以∠A＝45°，∠B＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
19．解：由题意可知，AB＝2，AO＝＝2，BO＝＝2，
∵S△ABO＝AB?h＝AO?BO?sin∠AOB，
∴×2×2＝×2×2×sin∠AOB，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
20．解：作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，
∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，
∴，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG＝，
∴，
得BE＝，
∴GE＝BE﹣BG＝＝，
故答案为：．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝
23．解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴b＝＝＝4，
∴sinA＝，tanA＝．
24．解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
25．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA?cosA＝×＝．
答：sinA?cosA的值为．
26．解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝；
答：tan∠AFE＝．
27．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
解直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sinC＝（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果∠A为锐角，且sinA＝0.6，那么（ ）
A．0°＜A≤30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A≤90°
3．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则sinα的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
5．2cos45°的值等于（ ）
A．1
B．
C．
D．2
6．如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cotA＝
9．如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．
B．
C．
D．2
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A．
+1
B．﹣1
C．
D．
二．填空题
11．AE、CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于
．
12．用计算器计算：sin35°≈
，
（保留4个有效数字）．
13．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝
．
14．若0°＜α＜90°，，则sinα＝
．
15．Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝
．
16．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝，AC＝1，则∠ACB为
度．
17．在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为
，写出sin70°、cos40°、cos50°的大小关系
．
18．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：
．
19．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是
．
20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，那么GE＝
．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90?，tanA＝，BC＝6，求AC的长和sinA的值．
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值．
24．计算：2cos60°+4sin60°?tan30°﹣6cos245°．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA?cosA的值．
26．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．
27．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα
cosα；若∠α＜45°，则sinα
cosα；若∠α＞45°，则sinα
cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，连接BD，
由正方形的性质可知，∠CDB＝90°，BD＝，BC＝，
则sinC＝＝，
故选：B．
2．解：∵sin30°＝＝0.5，sin45°＝≈0.707，sinA＝0.6，且sinα随α的增大而增大，
∴30°＜A＜45°．
故选：B．
3．解：过点P作PE⊥x轴于点E，
则可得OE＝3，PE＝m，
在Rt△POE中，tanα＝＝，
解得：m＝4，
则OP＝＝5，
故sinα＝．
故选：A．
4．解：在直角三角形中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴cosB＝sinA＝．
故选：A．
5．解：原式＝2×＝．
故选：B．
6．解：如图，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
则tan∠BAC＝＝，
故选：C．
7．解：sinA＝＝0.2，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，
按键顺序为
故选：B．
8．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴由勾股定理可得AB＝17，
∴sinA＝＝，故A选项错误；
cosA＝＝，故B选项错误；
tanA＝＝，故C选项错误；
cotA＝＝，故D选项正确；
故选：D．
9．解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2＝，sinB＝＝，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
故选：B．
10．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二．填空题
11．解：如图，由锐角三角函数的定义可知，
∵sinA＝，sinC＝，
∴sinA：sinC＝：＝FC：AE＝2：3．
故答案为：2：3．
12．解：sin35°≈0.5736，
6.403．
13．解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝＝4，
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA＝＝＝2．
故答案为：2．
14．解：
如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝α，
tanB＝＝，
设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k，
则sinα＝sinB＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设BC＝x，则AC＝2x，
∴AB＝＝x．
∴sinB＝＝．
16．解：如图，作AD⊥BC于D，AC＝AC′＝1，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝，
∴AD＝AB＝，
在Rt△ACD中，
sinC＝＝，
∴∠C＝60°，
同理可得∠AC′D＝60°，
∴∠AC′B＝120°．
故答案为60°或120°．
17．解：∵直角三角形ABC中，角C为直角
∴AB为斜边，BC是锐角∠A的对边，AC为锐角∠A的邻边，
又∴锐角A的余弦表示锐角A的邻边与斜边的比，
即cosA＝，
∴余弦的定义为cosA＝；
∵sin70°＝cos20°且余弦值在锐角范围内随角度的增大而减小，
∴cos20°＞cos40°＞cos50°，
∴sin70°＞cos40°＞cos50°，
故答案为：cosA＝；sin70°＞cos40°＞cos50°．
18．解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0，
即cosA＝，tanB＝1，
所以∠A＝45°，∠B＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
19．解：由题意可知，AB＝2，AO＝＝2，BO＝＝2，
∵S△ABO＝AB?h＝AO?BO?sin∠AOB，
∴×2×2＝×2×2×sin∠AOB，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
20．解：作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，
∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，
∴，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG＝，
∴，
得BE＝，
∴GE＝BE﹣BG＝＝，
故答案为：．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵△ABC中，tanA＝，BC＝6，
∴＝，
∴AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴sinA＝＝
23．解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，
∴b＝＝＝4，
∴sinA＝，tanA＝．
24．解：原式＝2×+4××﹣6×（）2
＝1+2﹣3
＝0．
25．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA?cosA＝×＝．
答：sinA?cosA的值为．
26．解：根据图形有：∠AFE+∠EFC+∠BFC＝180°，
根据折叠的性质，∠EFC＝∠EDC＝90°，
即∠AFE+∠BFC＝90°，
而Rt△BCF中，有∠BCF+∠BFC＝90°，
易得∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC，
根据折叠的性质，有CF＝CD，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理易得：BF＝6，
则tan∠BCF＝；
故有tan∠AFE＝tan∠BCF＝；
答：tan∠AFE＝．
27．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．