七年级数学第5章 轴对称图形复习（3）

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第5章 轴对称图形复习（3）
一 知识要点
1、等腰三角形的概念、性质、判定
（1）什么叫等腰三角形？
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边叫腰、另一条边叫底边，两腰的夹角叫顶角、腰与底的夹角叫底角。
腰
腰
底边
底角
顶角
若AB=AC,则△ABC是等腰三角形。
若△ABC是等腰三角形，则AB=AC
（2）．等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形的两个底角相等；
若AB=AC,则∠B=∠C
②等腰三角形关于底边的垂直平分
线轴对称，从而它是轴对称图形．
③等腰三角形的顶角平分线、底边
上的高线、底边上的中线互相重合
（简称 “三线合一”）．
若AB=AC,AD⊥BC,则BD=DC, ∠BAD=∠CAD
若AB=AC, BD=DC,则, ∠BAD=∠CAD ,AD⊥BC
若AB=AC,∠BAD=∠CAD,则BD=DC, AD⊥BC
（3）． 等腰三角形有哪些常用的判定方法
①根据定义：
有两边相等的三角形是
等腰三角形;
若AB=AC,则三角形ABC是等腰三角形
②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).
若∠B= ∠C，则△ABC是等腰三角形。
2、一种特殊的等腰三角形-----等边三角形
（1）什么叫等边三角形？
三条边相等的三角形叫等
边三角形。
若AB=AC=BC,
则△ABC是等边三角形。
（2）等边三角形有哪些性质？
①等边三角形的三个角都相等，
且都等于60 。
② 等边三角形是轴对称图形，每条边上的高所在的直线都是它的对称轴。
（3）怎样判断一个三角形是等边三角形？
①根据定义,三边相等的
三角形是等边三角形;
（说明：湘教版教材没有此判定方法）
若AB=AC, ∠A=60 (或∠B=60 ,或∠C=60 ),
则△ABC是等边三角形。
若AB=AC=BC,
则△ABC是等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形.
若∠A= ∠B= ∠C，则△ABC是等边三角形。
③有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形
二、专题研究
1、巧用等边对等角、等角对等边。
【例1】（2011 江西）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=__　 　度．

【解】∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，
∴∠B=∠C=50°，
∵BE=BP，
∴∠EPB=0.5(180 -∠B)=65°，
同理，∠FPC=65°，
∠EPF=180°﹣65°﹣65°=50°．
【分析】：根据在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，利用三角形内角和定理求出∠B=∠C=50°，再利用BE=BP，求出∠BPE，然后即可求得∠EPF，即可解题．
50°
【点评】
等腰三角形的顶角 =180 -2 ×底角 ，
等腰三角形的底角=0.5（180 -顶角）
巧用这些关系，就能轻松求出等腰三角形的未知角。
【变式练习一】
（2011广东省茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　___度．
【分析】：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°
∵DF=DE，∴∠E=15°．
．
15　
2、充分利用“三线合一”
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC,D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE,那么DE与BC垂直吗？说明你的理由。
【解】作AF⊥BC于F，
∵AB=AC, AF⊥BC
∴∠BAF=∠CAF
(等腰三角形“三线合一”)，
∵AD=AE
∴∠D=∠AED(等边对等角)
∵∠BAC=∠D+∠AED,即：∠BAF+∠CAF=∠D+∠AED, ∴2∠CAF=2∠AED, ∴∠CAF=∠AED
∴DE∥AF(内错角相等，两直线平行)∴DE⊥BC
(一条直线垂直两条平行线中的一条，也垂直另一条）
【分析】因为△ABC是等腰三角形，所以BC边上的高与BC垂直，因此要说明DE与BC垂直，只要说明DE与BC边上的高平行即可。
F
【点评】
等腰三角形底边上的高也是底边上的中线和顶角的平分线，一条线段“三副面孔”。给出其中“一幅面孔”，就要知道它还有“两幅面孔”。
【变式练习二】
如图，已知，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，BD=2cm,求BC、∠ADC.

【解】∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线
∴BC=2BD=4cm,AD⊥BC
(等腰三角形“三线合一”)
∴∠ADC=90 ，
(垂直定义）
3、注意分类讨论
【例3】已知等腰三角形的一个内角是70 ，求另外两个内角的度数。
【分析】由于70 的角没有指明是顶角还是底角，因此应分类讨论。
【解】当顶角为70 时，两个底角都为：
0.5（180 -70 ）=55 ，
当底角为70 时，顶角为：
180 -2×70 =40
【变式练习三】
1、已知等腰三角形的一边为8cm,另一边为4cm,则它的周长为（ ）
A 16cm, B 20cm,
C 20cm,或16cm, D 18cm.
【解】若腰是8cm,底边是4cm,则周长为：
8×2+4=20cm
若腰为4cm,底边为8cm,4+4=8，而三
角形任何两边之和大于第三边，所以，腰
不可能是4cm。因此选B。
B
2、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的角为45 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为___________.

【解】当顶角为锐角时，顶角等于：
90 -45 =45
当顶角为钝角时，顶角为：
90 +45 =135


45 或135
4、等腰三角形的判定
【例4】如图，△ABC中，∠A=36 ,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D，试说明△DAB,△BCD是等腰三角形。
【解】∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=0.5(180 -∠A)=0.5(180 -36 )=72
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=0.5∠ABC=36
∴∠A=∠ABD,
∠BDC=∠A+∠ABD=36 +36 =72
∴∠BDC=∠C
∴△DAB,△BCD是等腰三角形。
(有两个角相等的三角形是等腰三角形)
【变式练习】
如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=DC=DB, ∠B=30 ,试说明△ADC是等边三角形。
【解】∵DC=DB, ∠B=30
∴∠DCB=∠B=30 (等边对等角)
∴∠ADC=∠B+∠DCB
=30 +30 =60
∵AD=CD
∴∠A=∠ACD=60 (等边对等角)
∴△ACD是等边三角形
（三个角都等于60 的三角形是等边三角形）
反思小结
1、本节课要掌握好等腰三角形和等边三角形的概念、性质、判定；
2、“等角对等边”、“等边对等角”体现了转化的思想：角相等关系与线段的相等关系互相转化。
3、等腰三角形“三线合一”说明等腰三角形底边上的高，有三幅面孔，知道一幅，就要知道还有两幅。
4、题目中的条件如果指代不明，就要注意分类讨论。
课堂作业：
P 141 A 1,2，3

家庭作业：
《学法》等边三角形