6.1.1 平均数到加权平均数
教学目标
【知识与技能】
1 、认识平均数与加权平均数的关系;
2 、掌握加权平均数的意义与计算方法;
3、认识权数的意义与基本性质:非负性、归一。
【过程与方法】
经历利用平均数、加权平均数解决一些实际问题的过程,体会平均数和加权平均数的联系和区别,发展学生应用数学能力。
【情感态度与价值观】
体会加权平均数的应用价值,激发学生积极探究数学知识的兴趣。
重点、难点
重点:平均数、加权平均数的意义和计算。
难点:加权平均数中权的概念的理解。
教学过程
一创设情景,导入新课
甲乙两组各8名同学,测量他们的身高,得到下面两组数据(单位:m)
甲组:1.60、1.55、1.71、1.56、1.63、1.53、1.68、1.62
乙组:1.60、1.64、1.60、1.60、1.64、1.68、1.68、1.68、
1、这两组数据有什么不同?
【答】甲组中8个数都不相同,乙组中含有相同的数。其中1.60有3个,1.64有2个,1.68有3个。
2、分别计算甲、乙两组同学的平均身高
甲组同学的平均身高为
(1.60+1.55+1.71+1.56+1.63+1.53+1.68+1.62)÷8=1.61(m)
乙组同学的平均身高为:
(1.60+1.64+1.60+1.60+1.64+1.68+1.68+1.68) ÷8=1.64(m)
小学我们知道一组数据的平均数就是这组数据的和除以它们的个数,即:一组数据x1、x2、x3、…、xn的平均数为:。“”读作x拔。这节课,我们将学习平均数的另一个概念----加权平均数。
二 合作交流,探究新知
1 、加权平均数的概念
1、计算乙组同学的平均身高, 有没有别的方法?
乙组同学平均身高:(1.60×3+1.64×2+1.68×3)÷8=1.64(m)
根据乘法分配律, 这个式子也可以写成:
(1.60×3+1.64×2+1.68×3)×=1.60×+1.64×+1.68×=1.64(m)
【分析】:乙组数据的8个数中:
1.60有3个,占,1.64有2个,占,1.68有3个,占
分别是1.60、1.64、1.68这三个数在8个数里占的比例,分别叫这三个数的权数。
一般地,权数是一组非负数,权数之和等于1.
按算式1.60×+1.64×+1.68×=1.64(m)算得的平均数叫1.60、1.64、1.68分别以为权的加权平均数。
注意!(1)、权数是指一个数据在一组数中出现的次数与这组数据的总个数的比。
(2)、权数是非负数,权数之和等于1.
(3)、一组数据中,几个不同的数与它们的权数之积就是加权平均数。
考考你:比较小面两种说法:
(1)1.64是1.60、1.64、1.60、1.60、1.64、1.68、1.68、1.68、的平均数,
(2)1.64是1.60、1.64、1.68分别以为权的加权平均数。
共同点:都是乙组数据的平均数。
不同点:第一种是用普通方法计算出来的平均数,第二种是加权平均法计算出来的平均数;第二种说法中,1.64是三个数据(不是8个数!)分别以为权的加权平均数。
注意!
(1)算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它特殊在各项的权相等)
(2) 在实际问题中,各项权数不相等时,计算平均数时就要采用加权平均数,当各项权相等时,计算平均数就要采用算术平均数
(3) 加权平均数中“权”有几种表现形式?
①小数 ② 分数 ③ 百分数
三 应用迁移,巩固提高
权数的意义
某射击比赛选手10次射击(单位:环)6、7、8、7、8、9、8、10、8、10,其中7有_____个,占总个数的_____,7在这组数据中的权数为_______.
【点评】权数就是一个数据在一组数中的个数与总个数的比。
【变式练习】
1、在一次数学比赛中,某小组10名同学的得分分别是:70,86,70,85,90,90,70,
78,94,85,权数最大的数是______,权数为_______.
2、 加权平均数的计算
【例2】 用两种方法计算下面数据的平均数
35、35、35、47、47、84、84、84、84、125
【解法一】:方法1 这10个数的平均数是:
(35+35+35+47+47+84+84+84+84+125)÷10=66
【解法二】 所求的平均数是35、47、84、125分别以0.3、0.2、0.4、0.1为权的加权平均数。
35×0.3+47×0.2+84×0.4+125×0.1=66
答:这组数据的平均数是66.
【点评】加权平均也是求平均数的一种方法,因此也可以用来就普通平均数。
【例3】 求21、32、43 、54的加权平均数;
(1)以为权;(2)以0.4,0.3、0.2、0.1为权。
解:(1)21×+32×+43×+54×=37.5
(2)21×0.4+32×0.3+43×0.2+54×0.1=32
答:所求的加权平均数分别是:(1)37.5 ,(2) 32
【点评】对于同一组数据,用不同的权数求得的加权平均数是不同的,而当所有的权数都相同时,求得的加权平均数和普通意义下的平均数一致。
、加权平均数的应用
【例4】在一次体育课上,体育老师对九年级一班的40名同学进行了立定跳远项目的测试,测试所得分数及相应的人数如表所示,则这次测试的平均分为( )
分数 6 8 10
人数 5 15 20
【解】平均分为:(6×5+8×15+10×20)÷40=(分),选B。
【变式练习】
1、(2011怀化)在一次爱心捐款中,某班有40名学生拿出自己的零花钱,有捐5元、10元、20元、50元 的.右图反映了不同捐款的人数比例,那么这个班的学生平均每人捐款_________元.
【解】平均捐款数为:
50×20%+20×10%+10×10%+5×60%=16(元)
2、学校举行运动会, 入场式中有七年级的一个队列. 已知这个队列共
100人, 排成10行, 每行10 人, 其中前两排同学的身高都是
160 cm, 接着的三排同学的身高是155 cm, 其余五排同学的身高是150cm. 求这个队列的同学的平均身高.
【解】160×0.2+0.3×155+0.5×150=153.5cm.
答:这个队列同学的平均身高为153.5cm.
3、商店中有3种糖果, 各种糖果的单价如下表所示:
品种 水果糖 花生糖 软糖
单价(元/千克) 11.6 14.4 16
商店用水果糖20 kg、花生糖30 kg、软糖50 kg 配成什锦糖100 kg, 问
这100 kg 什锦糖的单价应如何确定?
【解】11.6×0.2+14.4×0.3+16×0.5=14.64(元)
答:这100千克什锦糖的单价为14.64元/千克。
四、反思小结、拓展提高
1、权数:一个数在一组数据中的出现的次数与这组数据的总个数之比。因此权数刻画了数据间的差异。
加权平均数:一组数据中,每一个不同的数乘以它的权数之和。
2、求平均数时,一组数据中的每一个不同的数占总个数的比例相同时,就用普通平均数,而不同数的个数占总个数的比例不同时,可以用加权平均数。
作业:P 153 A 1,2,3,4(共21张PPT)
6.1.1从平均数到加权平均数
湖南教育出版社
甲乙两组各8名同学,测得他们的身高,得到下面两组数据(单位:m)
甲组:1.60、1.55、1.71、1.56、
1.63、1.53、1.68、1.62
乙组:1.60、1.64、1.60、1.60、
1.64、1.68、1.68、1.68、
复习提问:
1、这两组
数据有什
么不同?
甲组中8个数都不相同,
乙组中含有相同的数。
其中1.60有3个,
1.64有2个,
1.68有3个。
甲乙两组各8名同学,测量他们的身高,得到下面两组数据(单位:m)
甲组:1.60、1.55、1.71、1.56、
1.63、1.53、1.68、1.62
乙组:1.60、1.64、1.60、1.60、
1.64、1.68、1.68、1.68、
2、分别计算甲、乙两组同学的平均身高
甲组同学的平均身高为
(1.60+1.55+1.71+1.56+1.63+1.53+1.68+1.62)÷8=1.61(m)
乙组同学的平均身高为:
(1.60+1.64+1.60+1.60+1.64+1.68+1.68+1.68) ÷8
=1.64(m)
新课引言
小学我们知道一组数据的平均数就是
这组数据的和除以它们的总个数,即:
一组数据 x1、x2、x3、…、xn
的平均数为:
“ ”读作x拔。
这节课,我们将学习平均数的另一个概念----加权平均数。
主题讲解
主题一、加权平均数的概念
根据乘法分配律, 这个式子也可以写成:
(1.60×3+1.64×2+1.68×3)×
=1.60× +1.64× +1.68× =1.64(m)
乙组:1.60、1.64、1.60、1.60、1.64、1.68、1.68、1.68、
2、计算乙组同学的平均身
高, 有没有别的方法?
乙组同学平均身高:
(1.60×3+1.64×2+1.68×3)÷8=1.64(m)
【分析】:乙组数据的8个数中:
1.60有3个,占 ,1.64有2个,占 ,
1.68有3个,占
分别是1.60、1.64、1.68这三个
数在8个数里占的比例,分别叫这三个数的权数。
乙组:1.60、1.64、1.60、1.60、
1.64、1.68、1.68、1.68、
思考: 1、权数会等于负数吗?为什么?
2、权数之和等于几?
一般地,权数是一组非负数,权数之和等于1.
按算式: 1.60× +1.64× +1.68×
=1.64(m)
算得的平均数叫1.60、1.64、1.68分别以 为权的加权平均数。
(1)、权数是指一个数据在一组数中出现的次数与这组数据的总个数的比。
(2)、权数是非负数,权数之和等于1.
(3)、一组数据中,所有不同的数与它们的权数之积就是加权平均数。
注意!
考考你:
比较小面两种说法:
(1)1.64是1.60、1.64、1.60、1.60、1.64、
1.68、1.68、1.68、的平均数,
(2)1.64是1.60、1.64、1.68分别以 为权的加权平均数。
共同点:都是乙组数据的平均数。
不同点:第一种是用普通方法计算出来的平均数;
第二种是加权平均法计算出来的平均数;第二种说法
中,1.64是三个数1.60、1.64、1.68(不是8个数!)
分别以 为权的加权平均数。
(1)算术平均数是加权平均数的一种特殊情况(它
特殊在各项的权数相等)
(2) 在实际问题中,各项权数不相等时,计算平
均数时就要采用加权平均数,当各项权相等时
计算平均数可以采用算术平均数
(3) 加权平均数中“权”有几种表现形式:
①小数 ② 分数 ③ 百分数
注意!
应用迁移
1、权数的意义
【例1】某射击比赛选手10次射击(单位:环)
6、7、8、7、8、9、8、10、8、10,其中7有_____个,占总个数的_____,7在这组数据中的
权数为_______.
【点评】
权数就是一个数据在一组数中的个数与总个数的比。
2
【变式练习】
1、在一次数学比赛中,某小组10名同学的得分分别是:70,86,70,85,90,90,70,
78,94,85,权数最大的数是______,权数为
_______.
70
0.3
2、 加权平均数的计算
【例2】 用两种方法计算下面数据的平均数
35、35、35、47、47、84、84、84、84、125
【解法一】: 这10个数的平均数是:
(35+35+35+47+47+84+84+84+84+125)÷10=66
【解法二】 所求的平均数是35、47、84、125分别以0.3、0.2、0.4、0.1为权的加权平均数。
35×0.3+47×0.2+84×0.4+125×0.1=66
答:这组数据的平均数是66.
【点评】加权平均也是求平均数的一种方法,因此也可以用来求普通平均数。
【例3】 求21、32、43 、54的加权平均数
(1)以 为权;
(2)以0.4,0.3、0.2、0.1为权。
【解】:(1)21× +32× +43× +54×
=37.5
(2)21×0.4+32×0.3+43×0.2+54×0.1
=32
答:所求的加权平均数分别是:
(1)37.5 ,(2) 32
【点评】
对于同一组数据,用不同的权数求得的加权平均数是不同的,而当所有的权数都相同时,求得的加权平均数和普通意义下的平均数一致。
3、加权平均数的应用
【例4】在一次体育课上,体育老师对九年级一班的40名同学进行了立定跳远项目的测试,测试所得分数及相应的人数如表所示,则这次测试的平均分为( )
【解】平均分为:(6×5+8×15+10×20÷40
= (分),选B。
分数 6 8 10
人数 5 15 20
【变式练习】
1、(2011怀化)在一次爱心捐款中,某班有40名学生拿出自己的零花钱,有捐5元、10元、20元、50元 的.右图反映了不同捐款的人数比例,那么这个班的
学生平均每人捐款______元.
【解】平均捐款数为:
50×20%+20×10%+10×10%+5×60%
=16(元)
16
2、学校举行运动会, 入场式中有七年级的一个队列. 已知这个队列共100人, 排成10行, 每行10 人, 其中前两排同学的身高都是160 cm, 接着的三排同学的身高是155 cm, 其余五排同学的身高是150cm. 求这个队列的同学的平均身高.
【解】160×0.2+0.3×155+0.5×150=153.5cm.
答:这个队列同学的平均身高为153.5cm.
3、商店中有3种糖果, 各种糖果的单价如下表所示:
商店用水果糖20 kg、花生糖30 kg、软糖50 kg 配成什锦糖100 kg, 问
这100 kg 什锦糖的单价应如何确定?
品种 水果糖 花生糖 软糖
单价(元/千克) 11.6 14.4 16
【解】11.6×0.2+14.4×0.3+16×0.5
=14.64(元)
答:这100千克什锦糖的单价为14.64元/千克。
反思小结
1、权数:一个数在一组数据中的个数与这组数据的总个数之比。权数是非负数,权数之和等于1.
加权平均数:一组数据中,每一个不同的数乘以它的权数之和。
2、求平均数时,一组数据中的每一个数不同时就用普通平均数,一组数据中的数出现重复现象时,可以用加权平均数。
作业:P 153 A 1,2,3,4