5.4.2正弦函数、余弦函数的性质同步练习- 2021-2022学年高一上学期数学培优卷（人教A版2019必修第一册）（Word含解析）

2021-2022学年高一数学培优小卷（人教A版2019）
第5.4.2课时 正弦、余弦函数的性质
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意
1．设函数false是以false为最小正周期的周期函数，且当false，false时，false；当false，false时，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．在区间false中，使false与false都单调递减的区间是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知函数false，当false取得最小值时，false等于（ ）
A．1 B．false C．false D．false
5．函数false图象的一个对称中心为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
6．函数false，下列关于该函数的叙述正确的是（ ）
A．false的最小正周期为false
B．false的图象可以由false向左平移false得来
C．false图象关于直线false对称
D．函数false在区间false上是增函数
7．已知函数false图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为false，下面给出了四个命题：
①函数false的极大值为false+1；
②[false，false]为函数false的一个单调递减区间；
③函数false的图象关于点（﹣false，0）对称；
④将函数false的图象向右平移false个单位长度后，所得图象关于原点对称．
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③
8．函数false在false上单调递减，则false的最大值是（ ）
A．1 B．false C．false D．4
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意
9．已知函数false，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数false的图象关于原点对称
B．函数false的最小正周期为false
C．false的值域为false
D．设函数false的奇偶性与函数false相同，且函数false在false上单调递减，则false的最小值为2
10．(多选)下列函数中周期为false，且为偶函数的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．已知函数false，则下列关于函数false说法中不正确的是（ ）
A．最小正周期为false B．图象关于点false对称
C．在区间false上为减函数 D．图象关于直线false对称
12．如图，有一块半圆形广场，计划规划出一个等腰梯形false的形状的活动场地，它的下底false是false的直径为false，上底false的端点在圆周上，其他几个弓形区域将进行盆景装饰.为研究这个梯形周长的变化情况，提出以下两种方案：方案一：设腰长false，周长为false；方案二：设false，周长为false，则（ ）
A．当false，false在定义域内增大时，false先增大后减小，false先减小后增大
B．当false，false在定义域内增大时，false先增大后减小，false先增大后减小
C．当false，false在定义域内增大时，false先减小后增大，false先减小后增大
D．梯形false的周长有最大值为false
三、填空题。本大题共4小题
13．设false是定义域为false，最小正周期为false的函数，且false则false__________．
14．已知函数false的最大值与最小正周期相同，则函数false在false上的单调增区间是__________．
15．已知函数false在false上是严格增函数，在false上是严格减函数，则false___________.
16．已知函数false，给出下列结论：
①false是周期函数；
②false在区间false上是增函数；
③若false，则false；
④函数false在区间false上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数false．
（1）若函数false在区间false上是严格增函数，求实数false的取值范围；
（2）求函数false在区间false上的所有零点．
18．已知false.
（1）求函数false的值域；
（2）求函数false的最大值和最小值.
19．已知函数false.
（1）作出函数在false的简图；
（2）写出函数的最小正周期；当false为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
（3）若false是false的一个内角，且false，试判断false的形状.
20．已知函数false，其中false为实数且false；若false对false恒成立，且false，求false的单调递增区间.
21．求函数false的单调区间和值域．
22．已知函数false，false，false，在同一周期内，当false时，false取得最大值4；当false时，false取得最小值false．
（1）求函数false的解析式；
（2）若false时，函数false有两个零点，求实数false的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】false，且当false，false时，false，
false.
故选：A.
2．D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于false，false，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于false，false，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于false，false，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于false，false，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
故选：false．
3．B
【解析】在区间false中，false的减区间是false，false的减区间是false；
false和false的公共减区间是false．
故选：B．
4．A
【解析】函数false，当false取得最小值时，有false，故false，false．
false，false．
故选：A．
5．D
【解析】令false，可得false．
所以当false时，false，故false满足条件，
当false时，false，故false满足条件；
故选：D
6．B
【解析】对于A，由周期公式可得：false，故A错误；
对于B，令false，向左平移false，得到false，故B正确；
对于C，由于false，不是函数的最值，故C错误；
对于D， false，false，而false在false上单调递减，故函数false在区间false上是减函数，故D错误；
故选：B．
7．B
【解析】由函数false，其最小正周期false，
由已知得false，解得false，
所以false，所以函数false的极大值为2，故①为假命题；
由false，解得false，
所以该函数的单调递减区间为false，
令false时，所得区间为false，故②为真命题；
令false，解得false，
所以函数false图象的对称中心为false，
当false时，对称中心为false，故③为真命题；
将函数false的图象向右平移false个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为false，
显然该函数不是奇函数，其图象不关于原点对称，故④为假命题．
综上真命题只有②③．
故选：B.
8．C
【解析】因为函数false在false上单调递减，
所以false，所以false.
所以false
因为false的单调递减区间为false，
所以false，解得false，
由于false，故false.
所以当false时，得false的最大区间：false.
故false的最大值是false.
故选：C.
9．BC
【解析】解：对于A：由于函数false，则根据函数的性质，
所以false，
所以函数为偶函数，故函数的图象关于false轴对称，故A错误；
对于B：由于false，
则函数的最小正周期为false，故B正确；
对于C：当false时，函数false，
由于false，故false，故C正确；
对于D：函数false为偶函数，所以false为偶函数，
所以false，故false，
由于false，所以false，所以false，即false，
由于false，false，
所以false，函数在false上单调递减，故false，解得false，故D错误.
故选：BC.
10．AC
【解析】因为false，所以false的周期为false，因为false，所以false是偶函数，A符合题意；
因为false是奇数，false的周期为false，所以BD不合题意；
false，false，false是偶函数，false的周期是false，C符合题意，
故选：AC.
11．CD
【解析】最小正周期为false，A正确；
因为false，所以函数false的图象关于点false对称，B正确；
令false，解得false，所以函数false在false上单调递增，所以函数false在false上单调递增，在false上单调递减，故C错；
false，不是最大值，所以函数false的图象不关于直线false对称，D错误.
故选：false
12．BD
【解析】方案一：如图所示，连接false，则false，
在false中，设false，false，
由余弦定理，得
false，false，
false，
在false中，false,
同理，false
false，
false，
false梯形的周长：false，
则函数false在false上单调递增，在false上单调递减，
梯形false的周长有最大值为false.

方案二：连接false，则false，
false，
作false于false，false于false，
得false，
false，
梯形的周长：false
false，
可得false在false内单调递增，在false内单调递减.
故选：B D．
13．false
【解析】由题意，函数false的最小正周期为false的函数，且false，
可得false.
故答案为：false.
14．false
【解析】解：函数false的最大值为2，最小正周期false，
falsefalse，
false，
函数false，
由false，false，
解得：false，false，所以函数的单调递增区间为false，false，
false当false时，函数false在false上的单调增区间：false．
故答案为：false．
15．false
【解析】由题可得当false时，false取得最大值，所以false，
则false，
又可得false，即false，即false，可得false，false.
故答案为：false.
16．①③
【解析】解：函数false，
对于①：由false所以函数的最小正周期为false，故①正确；
对于②：由于false，false，false，false，
故函数false在false上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数false）的最大值为1，若false，
则false，
所以false，false，false，
故则false；故③正确；
对于④：当false时，false，
由于false，即false，解得false或false，
所以函数有两个零点，故④错误．
故答案为：①③．
17．（1）false；（2）所有零点是0，false，false．
【解析】（1）由false，得false，false．
取false，可得false，
∵函数false在区间false上是严格增函数，
∴实数false的取值范围是false．
（2）由false，得false，
则false或false，false．
即false或false，false．
又false，∴false，false，false．
即函数false在区间false上的所有零点是0，false，false．
18．（1）false；（2）最大值为false，最小值为false.
【解析】解：（1）false，false，
false当false时，函数false取最小值false，
当false时，函数false取最大值false，
false函数false的值域为false，false；
（2）化简可得false
false
令false，由（1）知false，false；
代入可得false
由二次函数的性质可知，当false时，false取最小值false，
当false时，false取最大值false．
19．（1）图象见解析；（2）false，当false时，函数的最大值是false ；（3）直角三角形
【解析】（1）false
false时，函数的简图如下：
（2）函数的最小正周期是false，
当false时，该函数有最大值，最大值是false；
（3）若false是false的一个内角，则有false
由false得false，即false，
即false，则false，解得false，
即false为直角三角形.
20．false，false.false
【解析】若false对false恒成立，则false等于函数的最大值或最小值，
即false，false，解得false，false，
又false，
所以当false时，false，当false时，false，
又false，
所以false，即false，
所以false，此时false，满足条件false，
所以false
令false，
解得false，
所以false的单调递增区间是false，false.false
21．函数的单调减区间为false，函数的单调增区间为false；函数的值域为false.
【解析】falsefalse，false，
false，又false，即函数的单调减区间为false；
false，即函数的单调增区间为false
false，false，false
false函数的值域为false．
22．（1）false；（2）false.
【解析】（1）由题意知false，false，得周期false，∴false
当false时，false取得最大值4，即false，得false，得false，
又false，false当false时，false，
即false．
（2）由已知false在区间false上有两个实根，即方程false在区间false上有两个实根.
false，false，false，false
由于函数false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增，在区间false上单调递减，
又当false时，false，当false时，false
当false时，false，当false时，false，如图所示：
又false方程有两个实根，∴false或false
得false或false，
即实数false的取值范围是：false