4.2 图形的旋转同步练习（含答案）
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第四章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
知识能力全练
知识点一 旋转的定义
1.下列运动:①钟表指针的转动；②钟摆的摆动；③汽车方向盘的转动；④汽车在笔直的公路上行驶，其中属于旋转的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示，每个小三角形都是全等的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是由菱形ABCD以点A为中心（ ）
A.逆时针旋转120°得到的 B.逆时针旋转60°得到的
C.顺时针旋转120°得到的 D.顺时针旋转60°得到的
知识点二 旋转的性质
3.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°后得到△AB＇C′，则∠C′AB的度数为（ ）
A.18° B.82° C.64° D.100°
4.如图所示，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA＇B′，使点B恰好落在边A＇B′上.已知AB＝4cm，BB＇＝1cm，则A′B的长是（ ）
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
5.下图是一个钟表的平面图，10分钟后，分针旋转了________°，时针旋转了_______°，旋转中心为点___________.
6.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，E、F分别是AD、BC的中点，如果将长方形ABFE绕点F顺时针旋转90°，那么旋转后的长方形与长方形CDEF重叠部分的面积是__________cm2.
7.如图所示，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置.
（1）旋转中心是点_________，点P旋转的度数是_________；
（2）连接PP′，则△BPP′的形状是____________；
（3）若PA＝1，PB＝2，∠APB＝135°，求PC的长.
8.如图所示，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
（1）这个图案可以看成是由哪个“基本图案”通过旋转得到的？
（2）请画出旋转中心和旋转角；
（3）经过旋转，点A、B、C、D分别移动到什么位置？
9.将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B′A′C′＝30°）按图①中的方式放置，固定三角板A＇B＇C′，将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角的度数小于90°）至图②中的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′交于点O.
（1）求证:△BCE≌△B＇CF；
（2）当旋转角的度数等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由.
知识点三 旋转作图
10.先把点A（-3，4）向下平移2个单位，再向右平移7个单位得到点P，然后把点P绕原点O逆时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标为__________.
11.在如图所示的方格纸中画出△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1.
12.我们学习过:在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心.如图所示，△ABC≌△MNK，△MNK是由△ABC通过一次旋转得到的.请用直尺和圆规画出旋转中心.（不写作法，保留必要的作图痕迹）
13.在如图所示的8×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A（2，0），B（3，2），C（4，2），请按要求解答下列问题：
（1）将△ABO向右平移4个单位长度得到△A1B1O1，请画出△A1B1O1并写出点A1的坐标；
（2）将△ABO绕点C（4，2）顺时针旋转90°得到△A2B2O2，请画出△A2B2O2并写出点A2的坐标；
（3）将△A1B1O1绕点Q旋转90°可以和△A2B2O2完全重合，请直接写出点Q的坐标.
巩固提高全练
14.数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ）
A.国旗上升的过程 B.球场上滚动的足球
C.工作中的风力发电机叶片 D.传输带上运输的东西
15.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C的位置，使得点A′恰好落在AB边上，则旋转的角度为（ ）
A.30° B.90° C.60° D.150°
16.用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后，绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角a为_________度.
17.在平面直角坐标系中，以原点为中心，将点A（4，5）逆时针旋转90得到点B，则点B的坐标是__________.
18.如图所示，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，2），点C的坐标为（6，2），点D的坐标为（4，-2），小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某个点旋转一定角度可以得到两条线段中的另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是___________.
19.如图a，在直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°.
（1）求AB、AC的长；
（2）如图b，将线段AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD.
①连接EC，BD.求证:BD＝EC；
②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长.
20.如图所示，下列选项中的四个三角形不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（ ）
21.如图所示，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B＇C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A.（0，4） B.（2，-2） C.（3，-2） D.（-1，4）
22.如图所示，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（ ）
A. B. C. D.180°-
23.如图所示，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为__________.
24.如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为（0＜＜360°），如图②，连接CE，BD，CD.
（1）当0＜＜180°时，求证:CE＝BD；
（2）如图③，当＝90°时，延长CE交BD于点F，求证:CF垂直平分BD.
25.如图所示，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2），将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△O1AB1，将△O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到△O2A1B1，将△O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1，……，如此进行下去，则点O2021的坐标为___________.
26.【操作发现】
（1）如图a，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）.旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取一点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图b，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取一点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF.请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系.
参考答案
1.C 2.A 3.B 4.C
5.60;5;O 6.2.25
7.解析（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP的位置，旋转的角度为∠PBP＝90°，∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90°.
（2）根据旋转的性质得BP＝BP′，
∵∠PBP′＝90°，∴△BPP′是等腰直角三角形.
（3）由旋转可得P′B＝PB＝2，P′C＝PA＝1，∠BP′C＝∠APB＝135°.
∴PP′＝，∠BP′P＝45°，
∴∠PP＇C＝∠BP′C-∠BP′P＝135°-45°＝90°，
在Rt△PP′C中，PC＝.
8.解析 （1）这个图案可以看成是由正方形ABCD通过旋转得到的.
（2）如图，连接AC、FH，设交点为O点，则点O为旋转中心，∠AOF为旋转角.
（3）经过旋转，点A、B、C、D分别移动到点E、F、G、H的位置.
9.解析（1）证明:∵∠BCA＝∠B＇CA′，
∴∠BCA-∠A＇CA＝∠B＇CA＇-∠A＇CA，即∠BCE＝∠B＇CF，
又∵∠B＝∠B′，BC＝B′C，∴△BCE≌△B＇CF.
（2）AB与A′B′垂直理由如下:
∵旋转角的度数等于30°，即∠ECF＝30°，
∴∠FCB′＝60°，又∵∠B＝∠B′＝60°，
∴∠CFB＇＝60°，∴∠OFA＝∠CFB′＝60°，
又∵∠A＝30°，∴∠AOF＝90°，∴AB与A′B′垂直.
10.（-2,4）
11.解析 如图，△A1B1C1即为所求作的图形.
12.解析 如图所示，点O为旋转中心.
13.解析 （1）如图所示，△A1B1O1即为所求作的图形，点A1的坐标（6，0）.
（2）如图所示，△A2B2O2即为所求作的图形，点A2的坐标为（2，4）.
（3）如图所示，点Q的坐标为（6，4）.
14.C 15.C 16.22 17.（-5,4） 18.（2,0）或（5,3）
19.解析 （1）如图，在BA上取一点O，使BO＝BC，连接OC.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°-∠BAC＝60°，
∵BO＝BC，∴△BCO是等边三角形，∴OC＝BO＝BC，∠BCO＝60°，
∴∠ACO＝90°-∠BCO＝90-60°＝3°，∴∠ACO＝∠CAB，
∴OA＝OC＝BC，∴AB＝BO＋0A＝2BC＝2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝.
（2）①证明:∵线段AE是由线段AB绕点A时针旋转60°得到的，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴∠CAE＝∠CAB＋∠BAE＝90°，
∵线段AD是由线段AC绕点A逆时针旋转60°得到的，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＝∠EAC，
∴△CAE≌△DAB（SAS），∴BD＝EC.
②如图，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于点G.
由①知∠CAE＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝150°，∴∠DAG＝30°.
由（1）知AC＝，则AD＝AC＝，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴DG＝AD＝，
根据勾股定理得AG＝.
∵AE＝AB＝2，∴EG＝AE＋AG＝2＋＝.
在Rt△DGE中，DE＝.
20.B 21.D 22.D 23.（4,2）
24.证明（1）由题意知∠CAE＝∠BAD＝.
在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD.
（2）由（1）知△ACE≌△ABD，∴∠ACE＝∠ABD.
∵∠ACE＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD＋∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°，∴CF⊥BD.
∵AB＝AC＝＋1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BC＝AB＝＋2，CD＝AC＋AD＝＋2，∴BC＝CD.
∵CF⊥BD，∴CF垂直平分BD.
25.（2021，1）
26.解析（1）①由题意可知∠FCA＝∠DCB.
∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝60°.
在△CFA和△CDB中，AC＝CB，∠FCA＝∠DCB，CF＝CD，
∴△CFA≌△CDB，∴∠FAC＝∠B＝60°，
∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝60°＋60°＝120°.
②DE＝EF理由如下:
∵∠DCE＝30°，∠FCD＝60°，∴∠FCE＝∠DCE＝30°.
在△FCE和△DCE中，CF＝CD，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE，∴DE＝EF.
（2）①∠EAF＝90°.
详解:由题意可知∠FCA＝∠DCB.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝45°.
在△CFA和△CDB中，∴△CFA≌△CDB（SAS），
∴∠FAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝45＋45°＝90°.
②DB2＋AE2＝ED2.
详解:∵∠DCE＝45°，∠FCD＝90°，∴∠FCE＝∠DCE＝45°.
在△FCE和△DCE中，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴DE＝EF.
在Rt△AFE中，有AF2＋AE2＝EF2，
由①可知△CFA≌△CDB，
∴AF＝DB，∴DB2＋AE2＝ED2.
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第四章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
知识能力全练
知识点一 旋转的定义
1.下列运动:①钟表指针的转动；②钟摆的摆动；③汽车方向盘的转动；④汽车在笔直的公路上行驶，其中属于旋转的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图所示，每个小三角形都是全等的等边三角形，其中菱形AEFG可以看成是由菱形ABCD以点A为中心（ ）
A.逆时针旋转120°得到的 B.逆时针旋转60°得到的
C.顺时针旋转120°得到的 D.顺时针旋转60°得到的
知识点二 旋转的性质
3.如图所示，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°后得到△AB＇C′，则∠C′AB的度数为（ ）
A.18° B.82° C.64° D.100°
4.如图所示，将△OAB绕点O逆时针旋转得到△OA＇B′，使点B恰好落在边A＇B′上.已知AB＝4cm，BB＇＝1cm，则A′B的长是（ ）
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
5.下图是一个钟表的平面图，10分钟后，分针旋转了________°，时针旋转了_______°，旋转中心为点___________.
6.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝3 cm，E、F分别是AD、BC的中点，如果将长方形ABFE绕点F顺时针旋转90°，那么旋转后的长方形与长方形CDEF重叠部分的面积是__________cm2.
7.如图所示，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′的位置.
（1）旋转中心是点_________，点P旋转的度数是_________；
（2）连接PP′，则△BPP′的形状是____________；
（3）若PA＝1，PB＝2，∠APB＝135°，求PC的长.
8.如图所示，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形.
（1）这个图案可以看成是由哪个“基本图案”通过旋转得到的？
（2）请画出旋转中心和旋转角；
（3）经过旋转，点A、B、C、D分别移动到什么位置？
9.将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B′A′C′＝30°）按图①中的方式放置，固定三角板A＇B＇C′，将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角的度数小于90°）至图②中的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′交于点O.
（1）求证:△BCE≌△B＇CF；
（2）当旋转角的度数等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由.
知识点三 旋转作图
10.先把点A（-3，4）向下平移2个单位，再向右平移7个单位得到点P，然后把点P绕原点O逆时针旋转90°后得到点P′，则点P′的坐标为__________.
11.在如图所示的方格纸中画出△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1.
12.我们学习过:在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心.如图所示，△ABC≌△MNK，△MNK是由△ABC通过一次旋转得到的.请用直尺和圆规画出旋转中心.（不写作法，保留必要的作图痕迹）
13.在如图所示的8×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A（2，0），B（3，2），C（4，2），请按要求解答下列问题：
（1）将△ABO向右平移4个单位长度得到△A1B1O1，请画出△A1B1O1并写出点A1的坐标；
（2）将△ABO绕点C（4，2）顺时针旋转90°得到△A2B2O2，请画出△A2B2O2并写出点A2的坐标；
（3）将△A1B1O1绕点Q旋转90°可以和△A2B2O2完全重合，请直接写出点Q的坐标.
巩固提高全练
14.数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ）
A.国旗上升的过程 B.球场上滚动的足球
C.工作中的风力发电机叶片 D.传输带上运输的东西
15.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C的位置，使得点A′恰好落在AB边上，则旋转的角度为（ ）
A.30° B.90° C.60° D.150°
16.用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后，绕点M按逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角a为_________度.
17.在平面直角坐标系中，以原点为中心，将点A（4，5）逆时针旋转90得到点B，则点B的坐标是__________.
18.如图所示，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，2），点C的坐标为（6，2），点D的坐标为（4，-2），小明发现:线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某个点旋转一定角度可以得到两条线段中的另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是___________.
19.如图a，在直角三角形ABC中，∠BCA＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°.
（1）求AB、AC的长；
（2）如图b，将线段AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD.
①连接EC，BD.求证:BD＝EC；
②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长.
20.如图所示，下列选项中的四个三角形不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（ ）
21.如图所示，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B＇C′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A.（0，4） B.（2，-2） C.（3，-2） D.（-1，4）
22.如图所示，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（ ）
A. B. C. D.180°-
23.如图所示，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），D（6，6），连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为__________.
24.如图①，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝＋1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE.现将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为（0＜＜360°），如图②，连接CE，BD，CD.
（1）当0＜＜180°时，求证:CE＝BD；
（2）如图③，当＝90°时，延长CE交BD于点F，求证:CF垂直平分BD.
25.如图所示，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，2），将△OAB绕点A第一次顺时针旋转90°得到△O1AB1，将△O1AB1绕点B1第二次顺时针旋转90°得到△O2A1B1，将△O2A1B1绕点B1第三次顺时针旋转90°得到△O3A2B1，……，如此进行下去，则点O2021的坐标为___________.
26.【操作发现】
（1）如图a，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）.旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取一点E，使∠DCE＝30°，连接AF，EF.
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图b，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板另一直角边上取一点F，使CF＝CD，在线段AB上取一点E，使∠DCE＝45°，连接AF，EF.请直接写出探究结果:
①∠EAF的度数；
②线段AE，ED，DB之间的数量关系.
参考答案
1.C 2.A 3.B 4.C
5.60;5;O 6.2.25
7.解析（1）∵P是正方形ABCD内一点，△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP的位置，旋转的角度为∠PBP＝90°，∴旋转中心是点B，点P旋转的度数是90°.
（2）根据旋转的性质得BP＝BP′，
∵∠PBP′＝90°，∴△BPP′是等腰直角三角形.
（3）由旋转可得P′B＝PB＝2，P′C＝PA＝1，∠BP′C＝∠APB＝135°.
∴PP′＝，∠BP′P＝45°，
∴∠PP＇C＝∠BP′C-∠BP′P＝135°-45°＝90°，
在Rt△PP′C中，PC＝.
8.解析 （1）这个图案可以看成是由正方形ABCD通过旋转得到的.
（2）如图，连接AC、FH，设交点为O点，则点O为旋转中心，∠AOF为旋转角.
（3）经过旋转，点A、B、C、D分别移动到点E、F、G、H的位置.
9.解析（1）证明:∵∠BCA＝∠B＇CA′，
∴∠BCA-∠A＇CA＝∠B＇CA＇-∠A＇CA，即∠BCE＝∠B＇CF，
又∵∠B＝∠B′，BC＝B′C，∴△BCE≌△B＇CF.
（2）AB与A′B′垂直理由如下:
∵旋转角的度数等于30°，即∠ECF＝30°，
∴∠FCB′＝60°，又∵∠B＝∠B′＝60°，
∴∠CFB＇＝60°，∴∠OFA＝∠CFB′＝60°，
又∵∠A＝30°，∴∠AOF＝90°，∴AB与A′B′垂直.
10.（-2,4）
11.解析 如图，△A1B1C1即为所求作的图形.
12.解析 如图所示，点O为旋转中心.
13.解析 （1）如图所示，△A1B1O1即为所求作的图形，点A1的坐标（6，0）.
（2）如图所示，△A2B2O2即为所求作的图形，点A2的坐标为（2，4）.
（3）如图所示，点Q的坐标为（6，4）.
14.C 15.C 16.22 17.（-5,4） 18.（2,0）或（5,3）
19.解析 （1）如图，在BA上取一点O，使BO＝BC，连接OC.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°-∠BAC＝60°，
∵BO＝BC，∴△BCO是等边三角形，∴OC＝BO＝BC，∠BCO＝60°，
∴∠ACO＝90°-∠BCO＝90-60°＝3°，∴∠ACO＝∠CAB，
∴OA＝OC＝BC，∴AB＝BO＋0A＝2BC＝2，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝.
（2）①证明:∵线段AE是由线段AB绕点A时针旋转60°得到的，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴∠CAE＝∠CAB＋∠BAE＝90°，
∵线段AD是由线段AC绕点A逆时针旋转60°得到的，∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90°＝∠EAC，
∴△CAE≌△DAB（SAS），∴BD＝EC.
②如图，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于点G.
由①知∠CAE＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝150°，∴∠DAG＝30°.
由（1）知AC＝，则AD＝AC＝，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，∴DG＝AD＝，
根据勾股定理得AG＝.
∵AE＝AB＝2，∴EG＝AE＋AG＝2＋＝.
在Rt△DGE中，DE＝.
20.B 21.D 22.D 23.（4,2）
24.证明（1）由题意知∠CAE＝∠BAD＝.
在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD.
（2）由（1）知△ACE≌△ABD，∴∠ACE＝∠ABD.
∵∠ACE＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠FEB，
∴∠ABD＋∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°，∴CF⊥BD.
∵AB＝AC＝＋1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴BC＝AB＝＋2，CD＝AC＋AD＝＋2，∴BC＝CD.
∵CF⊥BD，∴CF垂直平分BD.
25.（2021，1）
26.解析（1）①由题意可知∠FCA＝∠DCB.
∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝60°.
在△CFA和△CDB中，AC＝CB，∠FCA＝∠DCB，CF＝CD，
∴△CFA≌△CDB，∴∠FAC＝∠B＝60°，
∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝60°＋60°＝120°.
②DE＝EF理由如下:
∵∠DCE＝30°，∠FCD＝60°，∴∠FCE＝∠DCE＝30°.
在△FCE和△DCE中，CF＝CD，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE，
∴△FCE≌△DCE，∴DE＝EF.
（2）①∠EAF＝90°.
详解:由题意可知∠FCA＝∠DCB.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝45°.
在△CFA和△CDB中，∴△CFA≌△CDB（SAS），
∴∠FAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝45＋45°＝90°.
②DB2＋AE2＝ED2.
详解:∵∠DCE＝45°，∠FCD＝90°，∴∠FCE＝∠DCE＝45°.
在△FCE和△DCE中，∴△FCE≌△DCE（SAS），∴DE＝EF.
在Rt△AFE中，有AF2＋AE2＝EF2，
由①可知△CFA≌△CDB，
∴AF＝DB，∴DB2＋AE2＝ED2.
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