【精品解析】高中数学人教版（2019）必修一第二章：一元二次函数、方程及不等式

高中数学人教版（2019）必修一第二章：一元二次函数、方程及不等式
一、单选题
1．（2021高一下·吉安期末）不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式 ，即 ，解得 或 ，
所以解集是 或 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式的解集。
2．（2018高一下·彭水期中）已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是（　　）
A．-11 B．11 C．-1 D．1
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的根，
由韦达定理可得 ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】根据韦达定理可求出a、b的值，即可求解。
3．（2021高一下·湖北期末）已知正数x，y满足： ，则x＋y的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题可知，
（当且仅当 时取等号），
所以x＋y的最小值为 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出x＋y的最小值。
4．（2021高一下·湖南月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值（　　）
A．6 B． C．10 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ， 时取等.
故答案为：D
【分析】由，结合基本不等式得出最小值。
5．（2021高一下·成都月考）若不等式 对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的值域；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵ 对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，
∴
又
∴
故m的最小值为
故答案为：B
【分析】运用化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再结合基本不等式求最值即可.
6．（2020高一上·威海期末）“ 恒成立”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ 恒成立”对应的 的范围为 ，
则它的一个充分不必要条件是 的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
7．（2021高一下·泾县月考）已知关于x的不等式 在 上有解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 时，不等式可化为 ；令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述，实数a的取值范围是 ．
故答案为：A．
【分析】 由已知可知，x∈（0，2]时，不等式可化为 ，然后构造函数，结合函数的单调性可求．
8．（2020高一上·金华期末）已知 ，且 ，（　　）
A．当 时，当且仅当 时， 有最小值
B．当 时，当且仅当 时， 的最小值为25
C．若 的最小值为9，则t的值为2
D．若 的最小值为25，则t的值为6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A：当 时， ，
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 时， 有最小值，
A不正确；
对于B：当 时， ，
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 时， 有最小值，
B不正确；
对于C：
，令 即 ，可得 ，
即 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 ，C符合题意；
对于D：
，令 即 ，可得 ，
即 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 ，D不正确；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
二、多选题
9．（2021高二下·湖南期末）已知 ， 为正数，且 ，那么下列结论中正确的有（　　）
A． 的最小值是2 B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】若 （当且仅当 取“=”），又由 ，故A错；
由 且 ，∴ ，故B正确；
由 ，当且仅当 时取“=”，故C正确；
由 ，且 、 为正数，∴ ，即 ，故D正确．
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再利用指数函数的单调性，从而找出结论中正确的选项。
10．（2021高二下·重庆期末）设 ， ，给出下列不等式恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 可得 ，A符合题意；
由 可得 ，B不符合题意；
由 ，当且仅当 时取等号，C符合题意；
由 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 设a>0， b>0， ，A成立； ， B不成立； ，故C成立；故D成立.
11．（2021高二下·江苏月考）已知 ， ，且 ，则 可能取的值有（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 取等号，
故答案为：BCD
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
12．（2021·辽宁模拟）设正实数a，b满足 ，则（　　）
A． 有最小值4 B． 有最大值
C． 有最大值 D． 有最小值
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项，即可得出答案。
三、填空题
13．（2020高一上·合肥期末）不等式 的解集是　 　．
【答案】{x｜x<-1或x>3}
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式变形为： ，分解因式可得： ，所以解集为{x|x<-1或x>3}
【分析】首先把不等式整理变形再由一元二次不等式的解法即可求出结果。
14．（2021高一下·四川期末）若 ，则 的最小值为　 　.
【答案】7
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵x>1
∴x-1>0
则
当且仅当，即x=4时，等号成立
故最小值为7
故答案为：7
【分析】根据基本不等式求解即可.
15．（2021高二下·泗县期末）设正实数 ， 满足 ，则 的取值范围　 　.
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵1=x+y
∴
又
设
则，
则当时，上式取得最大值；
当时，上式取得最小值；
故答案为：
【分析】根据基本不等式，结合二次函数的最值求解即可.
16．（2021高一下·赣州期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当 时，不等式为 ，满足题意.
当 时，由题得 ，所以 .
综合得 .
故答案为
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，对a分情况讨论结合二次函数的性质即可得出a的取值范围。
四、解答题
17．已知一元二次不等式 的解集为 ，求不等式 的解集.
【答案】由题意，不等式 的解集为 ，
所以 与 是方程 的两个实数根，
由根与系数的关系得 解得
所以不等式 ，即为 ，
整理得 ，解得
即不等式 的解集为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用已知条件结合韦达定理求出p,q的值，再利用一元二次不等式的求解方法，从而求出不等式 的解集。
18．（2016高二上·梅里斯达斡尔族期中）已知命题p：不等式2x﹣x2＜m对一切实数x恒成立，命题q：m2﹣2m﹣3≥0，如果￢p与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】解：根据命题p：不等式2x﹣x2＜m对一切实数x恒成立，得
m＞﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1恒成立，
∴m＞1，
根据命题q：m2﹣2m﹣3≥0，得
x≤﹣1或x≥3，
∵￢p与“p∧q”同时为假命题，
∴p为真命题，q为假命题，
∴ ，
∴1＜m＜3，
∴实数m的取值范围（1，3）
【知识点】复合命题的真假；函数恒成立问题
【解析】【分析】首先，求解所给命题都是真命题时，m的取值情况，然后，结合条件求解即可．
19．（2021高一下·广东期末）已知 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）当 时， ，即 ，
，即 ，解得 或 ，
∴原不等式的解集为 或 .
（2）当 时 恒成立，
，即 ，
设 ，当且仅当 时等号成立，
.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式 的解集。
（2） 当 时， 恒成立，所以 ，即 ， 设 ， 再利用均值不等式求最值的方法求出函数g(x)的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。
20．（2021高一下·四川期末）关于x的不等式： .
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）当 时，原不等式化为 ，
∵方程 的实数根为 ，
∴原不等式的解集为 或 ．
（2）∵不等式对一切实数恒成立，
∴ ，
即 ，
∵方程 的实数根为 和 ，
∴
所以 的取值范围为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，结合不等式恒成立问题求解即可.
21．（2021高一下·抚州期末）设函数 ，
（1）若 ，且 ，求不等式 的解集；
（2）若 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）由题意，函数 ，
因为 ，即
由 ，可得 ，即 ，
当 时， ，不等式 ，即为 ，
解得 或 ；
当 时，不等式 ，可化为 ，
若 ，不等式为 ，此时不等式的解集为 ；
若 ，则 ，解得 ，即不等式的解集为 ；
当 ，则 ，解得 ，即不等式的解集为 ，
综上所述，不等式的解集为：
当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
（2）因为 ，可得 ，
则 ，
当 时， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立；
当 时， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述， 的最小值为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】 (1)由题意可得 ，即 ， 讨a<0，a>0，a=1， 01时，结合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集；
(2)求得a+b+1=4， b+1>0，可得 ，运用基本不等式和讨论a>0， a<0，可得所求最小值.
22．
（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
【答案】（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时， 取得最小值4；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∵ ，
∴函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时， 的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值，并求出此时对应的 的值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值。
（3）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（4）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
1 / 1高中数学人教版（2019）必修一第二章：一元二次函数、方程及不等式
一、单选题
1．（2021高一下·吉安期末）不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． 或 D．
2．（2018高一下·彭水期中）已知关于 的不等式 的解集是 ，则 的值是（　　）
A．-11 B．11 C．-1 D．1
3．（2021高一下·湖北期末）已知正数x，y满足： ，则x＋y的最小值为（　　）
A． B． C．6 D．
4．（2021高一下·湖南月考）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值（　　）
A．6 B． C．10 D．
5．（2021高一下·成都月考）若不等式 对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（　　）
A． B． C．3 D．4
6．（2020高一上·威海期末）“ 恒成立”的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高一下·泾县月考）已知关于x的不等式 在 上有解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020高一上·金华期末）已知 ，且 ，（　　）
A．当 时，当且仅当 时， 有最小值
B．当 时，当且仅当 时， 的最小值为25
C．若 的最小值为9，则t的值为2
D．若 的最小值为25，则t的值为6
二、多选题
9．（2021高二下·湖南期末）已知 ， 为正数，且 ，那么下列结论中正确的有（　　）
A． 的最小值是2 B．
C． D．
10．（2021高二下·重庆期末）设 ， ，给出下列不等式恒成立的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021高二下·江苏月考）已知 ， ，且 ，则 可能取的值有（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．（2021·辽宁模拟）设正实数a，b满足 ，则（　　）
A． 有最小值4 B． 有最大值
C． 有最大值 D． 有最小值
三、填空题
13．（2020高一上·合肥期末）不等式 的解集是　 　．
14．（2021高一下·四川期末）若 ，则 的最小值为　 　.
15．（2021高二下·泗县期末）设正实数 ， 满足 ，则 的取值范围　 　.
16．（2021高一下·赣州期末）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为　 　.
四、解答题
17．已知一元二次不等式 的解集为 ，求不等式 的解集.
18．（2016高二上·梅里斯达斡尔族期中）已知命题p：不等式2x﹣x2＜m对一切实数x恒成立，命题q：m2﹣2m﹣3≥0，如果￢p与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围．
19．（2021高一下·广东期末）已知 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
20．（2021高一下·四川期末）关于x的不等式： .
（1）当 时，求不等式的解集；
（2）若不等式对一切实数恒成立，求 的取值范围.
21．（2021高一下·抚州期末）设函数 ，
（1）若 ，且 ，求不等式 的解集；
（2）若 ， ，求 的最小值.
22．
（1）已知 ，求 的最小值．并求此时 的值；
（2）设 ，求函数 的最大值；
（3）已知 ，求 的最小值；
（4）已知 ， ，且 ，求 的最小值；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式 ，即 ，解得 或 ，
所以解集是 或 。
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式的解集。
2．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以 是方程 的根，
由韦达定理可得 ，
故 ，
故答案为：C.
【分析】根据韦达定理可求出a、b的值，即可求解。
3．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由题可知，
（当且仅当 时取等号），
所以x＋y的最小值为 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出x＋y的最小值。
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，所以
所以 ，当且仅当 ， 时取等.
故答案为：D
【分析】由，结合基本不等式得出最小值。
5．【答案】B
【知识点】函数的值域；基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵ 对所有正数x，y均成立，
∴对所有正数x，y均成立，
∴
又
∴
故m的最小值为
故答案为：B
【分析】运用化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题，再结合基本不等式求最值即可.
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】 恒成立，
当 时， 恒成立，满足题意，
当 时， ，解得 ，
综上，“ 恒成立”对应的 的范围为 ，
则它的一个充分不必要条件是 的真子集，只有C选项满足.
故答案为：C.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法结合一元二次方程图象的性质得出a的取值范围，再由充分和必要条件的定义即可求出a的取值范围。
7．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 时，不等式可化为 ；令 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述，实数a的取值范围是 ．
故答案为：A．
【分析】 由已知可知，x∈（0，2]时，不等式可化为 ，然后构造函数，结合函数的单调性可求．
8．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A：当 时， ，
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 时， 有最小值，
A不正确；
对于B：当 时， ，
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 时， 有最小值，
B不正确；
对于C：
，令 即 ，可得 ，
即 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 ，C符合题意；
对于D：
，令 即 ，可得 ，
即 ，当且仅当 即 时等号成立，所以 ，D不正确；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而找出正确的选项。
9．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】若 （当且仅当 取“=”），又由 ，故A错；
由 且 ，∴ ，故B正确；
由 ，当且仅当 时取“=”，故C正确；
由 ，且 、 为正数，∴ ，即 ，故D正确．
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，再利用指数函数的单调性，从而找出结论中正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由 可得 ，A符合题意；
由 可得 ，B不符合题意；
由 ，当且仅当 时取等号，C符合题意；
由 ，
当且仅当 ，即 时取等号，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 设a>0， b>0， ，A成立； ， B不成立； ，故C成立；故D成立.
11．【答案】B,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为 ， ，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 取等号，
故答案为：BCD
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
12．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最大值为 ，
，A符合题意；
，B不符合题意；
，C符合题意；
，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】由已知结合基本不等式分别检验各选项，即可得出答案。
13．【答案】{x｜x<-1或x>3}
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】不等式变形为： ，分解因式可得： ，所以解集为{x|x<-1或x>3}
【分析】首先把不等式整理变形再由一元二次不等式的解法即可求出结果。
14．【答案】7
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵x>1
∴x-1>0
则
当且仅当，即x=4时，等号成立
故最小值为7
故答案为：7
【分析】根据基本不等式求解即可.
15．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：∵1=x+y
∴
又
设
则，
则当时，上式取得最大值；
当时，上式取得最小值；
故答案为：
【分析】根据基本不等式，结合二次函数的最值求解即可.
16．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】当 时，不等式为 ，满足题意.
当 时，由题得 ，所以 .
综合得 .
故答案为
【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，对a分情况讨论结合二次函数的性质即可得出a的取值范围。
17．【答案】由题意，不等式 的解集为 ，
所以 与 是方程 的两个实数根，
由根与系数的关系得 解得
所以不等式 ，即为 ，
整理得 ，解得
即不等式 的解集为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】利用已知条件结合韦达定理求出p,q的值，再利用一元二次不等式的求解方法，从而求出不等式 的解集。
18．【答案】解：根据命题p：不等式2x﹣x2＜m对一切实数x恒成立，得
m＞﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1恒成立，
∴m＞1，
根据命题q：m2﹣2m﹣3≥0，得
x≤﹣1或x≥3，
∵￢p与“p∧q”同时为假命题，
∴p为真命题，q为假命题，
∴ ，
∴1＜m＜3，
∴实数m的取值范围（1，3）
【知识点】复合命题的真假；函数恒成立问题
【解析】【分析】首先，求解所给命题都是真命题时，m的取值情况，然后，结合条件求解即可．
19．【答案】（1）当 时， ，即 ，
，即 ，解得 或 ，
∴原不等式的解集为 或 .
（2）当 时 恒成立，
，即 ，
设 ，当且仅当 时等号成立，
.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式 的解集。
（2） 当 时， 恒成立，所以 ，即 ， 设 ， 再利用均值不等式求最值的方法求出函数g(x)的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。
20．【答案】（1）当 时，原不等式化为 ，
∵方程 的实数根为 ，
∴原不等式的解集为 或 ．
（2）∵不等式对一切实数恒成立，
∴ ，
即 ，
∵方程 的实数根为 和 ，
∴
所以 的取值范围为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次不等式的实际应用
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法，结合不等式恒成立问题求解即可.
21．【答案】（1）由题意，函数 ，
因为 ，即
由 ，可得 ，即 ，
当 时， ，不等式 ，即为 ，
解得 或 ；
当 时，不等式 ，可化为 ，
若 ，不等式为 ，此时不等式的解集为 ；
若 ，则 ，解得 ，即不等式的解集为 ；
当 ，则 ，解得 ，即不等式的解集为 ，
综上所述，不等式的解集为：
当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 .
（2）因为 ，可得 ，
则 ，
当 时， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立；
当 时， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述， 的最小值为 .
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【分析】 (1)由题意可得 ，即 ， 讨a<0，a>0，a=1， 01时，结合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集；
(2)求得a+b+1=4， b+1>0，可得 ，运用基本不等式和讨论a>0， a<0，可得所求最小值.
22．【答案】（1）因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号；故当 时， 取得最小值4；
（2） ， ．
．
当且仅当 ，即 时，等号成立．
∵ ，
∴函数 的最大值为 ．
（3） ，
，当且仅当 时取等号，即 时， 的最小值为 ，
（4） ， ， ， ．
当且仅当 时，上式等号成立，又 ， ， 时， ．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值，并求出此时对应的 的值。
（2）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最大值。
（3）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
（4）利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而求出 的最小值 。
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