(共14张PPT)
2.6
应用一元二次方程
第1课时
几何问题的应用
第二章
一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
规则图形的应用
规划图形的应用
课时导入
复习提问
引出问题
很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决，前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二次方程解决几何相关问题.
知识点
规则图形的应用
知1－导
感悟新知
1
例1：等腰梯形的面积为160cm2,上底比高多4cm,
下底比上底多16cm，求这个梯形的高.
例
1
导引：
本题可设高为x
cm，上底和下底都可以用含
x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积公式来建立方程求解.
解：设这个梯形的高为
x
cm,则上底为(x+4)cm,
下底为(x+20)cm.
感悟新知
根据题意得
整理，得
解得
x1=8
,
x2=－20
(
不合题意，舍去
)
答：这个梯形的高为8cm.
知1－导
知1－讲
归
纳
感悟新知
利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.
知识点
规划图形的应用
知2－导
感悟新知
2
例2：如图，要设计一本书的封面，封面长27
cm，宽21
cm，正中央是一个与整个封面长宽
比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边
衬所占面积是封面面积的四分之—，上、
下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设
计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
例2
感悟新知
分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩
形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长
和宽分别是9a
cm和7a
cm，由此得上、下边
衬与左、右边衬的宽度之比是
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7.
知2－导
感悟新知
解：设上下边衬的宽为9x
cm,左右边衬的宽
为7x
cm,依题意得
∴上、下边衬的宽均为
1.8
cm
，左、右边衬的宽均为
1.4
cm
知2－导
知2－讲
感悟新知
思考：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．
解：
设正中央的矩形两边长分别为9x
cm，7x
cm.
依题意得
解得
感悟新知
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
知2－讲
知2－讲
归
纳
感悟新知
在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解.
课堂小结
一元二次方程
求解面积问题的方法：
1.
规则图形，套用面积公式列方程
2.
不规则图形，采用割补的办法，使其成为规则图形，根据面积间的和、差关系求解
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共14张PPT)
2.6
应用一元二次方程
第2课时
百分率问题的应用
第二章
一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
增长率问题
降低率问题
课时导入
随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二次方程解决与营销有关的问题.
知识点
增长率问题
知1－讲
感悟新知
1
增长率问题经常用公式
a(1+x)n=b
，a为基数,
b为增长或下降后的数，x为增长率，“n”表示
n次增长或下降.
感悟新知
例1：如有雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
知1－练
例
1
感悟新知
知1－练
1.审清题意，今年
到后年间隔2年
3.根据增长率的等量关系列出方程
答：平均每年的增长20%
解：平均每年增长的百分率为x,
根据题意得：
1＋x＝±1.2
x1＝－2.2(舍去)
x2＝0.2
2.设未知数
知1－讲
归
纳
感悟新知
列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：审、设、列、解、验、答．
一般情况下，
“审”不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，才能准确列出方程．
知识点
降低率问题
知2－导
感悟新知
2
例2：两年前生产1
t甲种药品的成本是5
000元，生产
1
t乙种药品的成本是6
000元．随着生产技术的
进步，现在生产1
t甲种药品的成本是3
000元，
生产1
t乙种药品的成本是3
600元．哪种药品成
本的年平均下降率较大？
例2
感悟新知
分析：容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为
(5
000－3
000)÷2＝1
000(元)，乙种药品成本
的年平均下降额为(6
000－3
600)÷2＝1
200(元)．
显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降
率(百分数)．
知2－导
感悟新知
设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种
药品成本为5
000(1－x)元，两年后甲种药品成本为
5
000(1－x)2元，于是有
5
000(1－x)2＝3
000.
解方程，得
x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均
下降率约为22.5%.
知2－导
感悟新知
知2－导
乙种药品成本的年平均下降率是多少？请比较两种药品成本的年平均下降率．
解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得
6000(1
－
y
)2=3600.
解方程，得
y1≈0.225，y2≈1.775.
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.
感悟新知
知2－导
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
结论：甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药品，它的成本下降
率不一定较大.不但要考虑它们的平均下降
额，而且要考虑它们的平均下降率.
课堂小结
一元二次方程
解决利润问题常用的关系有：
(1)利润＝售价－进价．
(2)利润率＝
×100%
＝
×100%.
(3)售价＝进价(1＋利润率)．
(4)总利润＝单个利润×销售量＝总收入－总支出．
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共13张PPT)
2.6
应用一元二次方程
第3课时
一般问题的应用
第二章
一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
传播问题
循环问题
数字问题
课时导入
复习提问
引出问题
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.列一元一次方程解应用题的步骤？
①审题，②设出未知数.
③找等量关系
④列方程，
⑤解方程，
⑥答.
课时导入
复习提问
引出问题
同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．本节继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．
知识点
传播问题
知1－练
1
例1：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
例
1
知1－练
审清题意
设未知数
列方程
解方程验根
找出已知量、未知量
解：设平均一个人传染了x个人．则第一轮后共有（1+x）个人患了流感，第二轮后共有[1+x+x(1+x)
]个人患了流感.
依据题意得：1+x+x(1+x)=121.
解得：x1=10，x2=－12（不合题意，舍去）.
平均一个人传染了10个人
作
答
知识点
循环问题
知2－练
2
例2：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
例2
解：设应邀请x个球队参加比赛，可得到
方程可化为x2－x－30=0
解得
x1=6,
x2=－5
(舍去)
所以应邀请6个球队参加比赛.
知2－讲
知识点
数字问题
知3－练
3
例3：有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.
例
3
解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为
(x－2)，这个两位数字是[10
(x－2)
+
x].
根据题意，得10
(x－2)
+x=3x
(x－2)整理，
得3x2－17x+20=0
解得，
x1=4,
x2=
(不合题意，舍去)
当x=4时，x－2=2，
∴这个两位数是24.
知3－练
知3－讲
总
结
(1)列一元二次方程解应用题时，求得的根还必须进行验根，一看是否是所列方程的根，二看是否符合问题的实际意义.如本题中解得x2=
，虽是一元二次方程的解，但由于个位数字只能取整数，故x2=
这一个根不符合实际意义，应舍去.
(2)本题采用了间接设元方式，可以使复杂的问题简单化.
课堂小结
一元二次方程
1.
列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤？
2.
列方程解实际问题时要注意以下两点：
(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际意义.
(2)设未知数可直接设元，也可间接设元.
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业(共14张PPT)
2.6
应用一元二次方程
第4课时
用可化为一元二次方程的分式方程解应用问题
第二章
一元二次方程
名师点金
复习提问
引出问题
可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛，一般应用于营销、行程、工程等问题中，解分式方程的基本思路就是化归，去掉分母后转化为一元二次方程，但最后一定要验根，有时可能会产生增根或不符合题意的根．
应用
采购问题
知1－练
1
1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购某种玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？(说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价)
知1－练
解：方法一：设第二次采购玩具x件，则第一次采购玩具
(x－10)件，由题意得
整理得x2－110x＋3
000＝0.解得x1＝50，x2＝60.
经检验x1＝50，x2＝60都是原方程的解．
当x＝50时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷50＝3(元)，高于玩具的售价，不合题意，舍去；
当x＝60时，第二次采购时每件玩具的批发价为150÷60＝2.5(元)，低于玩具的售价，符合题意．
因此第二次采购玩具60件．
知1－练
方法二：设第一次采购玩具x件，则第二次采购玩具
(x＋10)件，由题意得
整理得x2－90x＋2
000＝0.
解得x1＝40，x2＝50.
经检验，x1＝40，x2＝50都是原方程的解．
第一次采购40件时，第二次采购40＋10＝50(件)，批发价为150÷50＝3(元)，不合题意，舍去；
第一次采购50件时，第二次采购50＋10＝60(件)，批发价为150÷60＝2.5(元)，符合题意．
因此第二次采购玩具60件．
应用
营销问题
知2－练
2
2.小明的爸爸下岗后，做起了经营水果的生意，一天，他先去水果批发市场，用100元购甲种水果，用150
元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多购进10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.8元零售，结果乙种水果很快售完，甲种水果售出
时，出现滞销，他便按原售价的5折售完剩下的水果，请你帮小明的爸爸算一算，这天卖水果是赔钱了还是赚钱了(不考虑其他因素)？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？
知2－讲
解：设小明的爸爸购乙种水果x千克，则购甲种水果(x－10)千克，所以甲种水果的批发价为每千克
元，乙种水果的批发价为每千克
元．
根据题意得
整理得x2－110x＋3
000＝0.解之得x1＝50，x2＝60.
经检验，x1＝50，x2＝60都是方程的根．
当x＝50时，乙种水果的批发价为每千克
＝3(元)，高于水果零售价，不合题意，舍去．
知2－讲
当x＝60时，乙种水果的批发价为每千克
＝2.5(元)，符合题意；甲种水果的批发价为每千克
＝2(元)，也符合题意．
因此，小明的爸爸购进乙种水果60千克，购进甲种水果60－10＝50(千克)，小明的爸爸这一天卖水果盈利：
(50×
×2.8＋50×
×2.8×
＋60×2.8)－(100＋150)＝44(元)．
∴小明的爸爸这一天卖水果赚钱了，赚了44元．
应用
行程问题
知3－练
3
3.穿越青海境内的兰新铁路极大地改善了沿线人民的经济文化生活．该铁路沿线甲、乙两城市相距480
km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4
h到达.已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160
km/h.设普通列车的平均行驶速度为x
km/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
B
应用
工程问题
知4－练
4
4.施工队要铺设一段全长2
000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工量需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
A
知4－练
点拨：由题意可知实际每天施工(x＋50)米，
∴原计划施工
天，实际施工
天，
∵原计划施工天数比实际施工天数多2天，
∴
故选A.
知4－练
5．某一公路的道路维修工程，准备从甲、乙两个工
程队选一个队单独完成．根据两队每天的工程费
用和每天完成的工程量可知，若由两队合做此项
维修工程，6天可以完成，共需工程费用385
200
元，若单独完成此项维修工程，甲队比乙队少用
5天，每天的工程费用甲队比乙队多4
000元．从
节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？
知4－练
解：设甲队单独做x天完成，则乙队单独做(x＋5)天完
成，根据题意，得
整理，得x2－7x－30＝0.
解得x1＝10，x2＝－3.
经检验，x1＝10，x2＝－3都是原方程的根，
但x2＝－3不合题意，舍去，此时x＋5＝15，
即单独做甲、乙两队分别需要10天、15天完成任务．
知4－练
设乙队每天工程费用为y元，则甲队每天工程费用
为(y＋4
000)元，根据题意，得6(y＋y＋4
000)＝385
200.
解得y＝30
100.
∴y＋4
000＝34
100.
即甲、乙两队每天的工程费用分别为34
100元、30
100元．
∵34
100×10＝341
000(元)，30
100×15＝451
500(元)，
∴从节省资金的角度考虑，应选甲工程队．
