3.6三角形、梯形的中位线3

(共46张PPT)
三角形、梯形的中位线
（3）
1、三角形的中位线：
一.我们所学的中位线有什么性质？
①平行于第三边；
②等于第三边的一半。
2、梯形的中位线：
①平行于两底边；
②等于两底和的一半。
知识回味
二.练一练:
1.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是 _________ .
2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是 _________ .
3.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是
_________ .
4.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是
_________ .
5.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是
_________ .
平行四边形
平行四边形
菱形
矩形
菱形
由上述练习可归纳:
1. 顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 _________ .
顺次连结对角线互相垂直的四边形各边
中点所得的四边形是 _________ .
2.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是矩形,则原四边形应满足的条件是_________ .
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是菱形,则原四边形应满足的条件是_________ .
菱形
矩形
对角线相等
对角线互相垂直
1.如图，在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=6,AD⊥BC
于点D，E、F分别是AB、AC的中点，则EF的
长为_____,DE的长为_____，ＤＦ的长为____．
３
２
1.5
D
F
E
A
B
C
三.基础训练:
2.如图,已知在△ABC中,D是AB上一点,且
AD=AC,AE⊥CD,垂足为E,F是BC的中
点,BD=6cm,求EF的长.
F
E
D
C
A
B
如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=8cm,BD与
∠BAC的平分线垂直,点E是BC的中点,则DE
的长为_______cm.
E
D
A
B
C
变式练习:
1
F
3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E、F、G、H分
别是各边的中点，当梯形的边满足_________条件
时四边形ＥＦＧＨ是菱形．
ＡＤ＝ＢＣ
G
H
E
F
A
D
C
B
4.如图,已知矩形ABCD中,Q、P分别是DC、
BC上的点，E、F分别是AP、QP的中点，
当P在BC上从B向C移动而Q不动时，下列
结论成立的是 （ ）
A.线段EF的长逐渐增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不改变
D.线段EF的长不确定
F
E
C
A
B
D
Q
P
C
试一试
5.如图,在直角梯形ABCD中,点O为CD
的中点.
(1)度量顶点A、B到点O的距离,并做
出猜想;
(2)你的猜想正确吗 为什么
A
B
C
D
O
F
6.已知:如图,梯形ABCD中,AB∥CD,E为AD
中点,且BC=AB+CD. 求证：BE⊥CE.
D
E
C
B
A
H
7.如图,D、E、F分别是△ABC的三边中点，
试判断AD与EF的关系，并说明理由.
F
E
D
A
B
C
8.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=DC,点E、
F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线
BD、AC的中点.
(1)猜想EF与GH有怎样的特殊关系
(2)试证明你的猜想.
F
G
H
E
B
C
A
D
9.如图,在△ABC中,AH⊥BC于H,E、F、D分别是AB、AC 、BC的中点.
求证:四边形DEFH是等腰梯形.
F
E
D
H
B
C
A
11.如图,平行四边形ABCD的对角线BD、AC交于点O,点E、F、G分别是OB、OC、AD的中点,若AC=2AB.
求证:EG=EF.
G
F
E
A
D
B
C
O
例题
2.如图,CD、BG分别为∠ACB、∠ ABC的平分线，AD⊥CD于D，AG⊥B于G,AC=10,AB=12,BC=14.
求DG
F
G
D
E
B
A
C
变式1.如图,CD、BG分别为∠ACB、∠ ABC的外角的平分线，AD⊥CD于D，AG⊥B于G,AC=10,AB=12,BC=14.
求DG
F
G
A
B
C
E
D
M
N
变式2.如图, BG为∠ABC的平分线， CD为∠ACB 外角的平分线、 AD⊥CD于D，AG⊥BG于G,AC=10,AB=12,BC=14.
求DG
D
F
G
A
B
C
E
M
N
10.已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点,EF分别交BD、AC于点G、H.
求证:OG=OH
H
G
O
E
B
C
F
D
A
.
M
F
H
A
B
G
E
D
C
已知:四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是AB、CD的中点，EF的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G
求证：∠AHE=∠BGE
●
O
变式:
1
2
E
点拨：过梯形的一个顶点作一条对角线的平行线是常见的辅助线。
6
8
10
6
1：在梯形ABCD中,AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8,求梯形的面积.
A
D
C
B
2
8
2
24
2：如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=5cm,BD=12cm,则该梯形的中位线长等于 cm.
E
6.5
A
D
C
B
12cm
5cm
5cm
O
M
N
13
6.如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连结CE、CD.
求证：CD=2EC
A
D
C
B
E
8.把它剪一刀拼成一个梯形.
准备一张三角形的硬纸片(如图).
①
①
A
B
C
D
E
F
D为AB中点
9.把它剪一刀拼成一个等腰梯形.
准备一张三角形的硬纸片(如图).
①
①
A
B
C
D
E
F
D、E分别为AB、AC中点∠DFC=∠ECF
G
10.把梯形剪一刀拼成一个平行四边形.
E
A
D
C
B
F
G
E为DC中点FG∥AB
①
①
10.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.
(1)四边形MENF是什么图形 请证明你的结论；
(2)若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系 并请说明理由.
7:在梯形ABCD中,ABCD,M、N为对角线的中点,AB=2,CD=6,则MN= .
点拨：
2
N
M
A
B
C
D
E
2
2
4
2
6
2.若等腰梯形的两条对角线互相垂直,
上底为7cm,下底为13cm,
则此梯形的面积为_______ .
100(cm)2
E
x
20
x
A
D
C
B
7
13
7
x
O
11。正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。
如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
F
P(O)
D
C
B
A
图1
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
M
1
2
3
△ABP≌ADP
△BMP≌DFE
11。正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．
⑴如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。
①求证：DF＝EF；
图2
O
D
C
B
A
E
F
P
M
1
2
3
△ABP≌ADP
△BMP≌DFE
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；
PC＝
CE +PA
PC =
CF
=
（CE+EF）
=
CE
+ EF
=
CE
+ AM
11。正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。
如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF
O
D
C
B
A
图3
P
⑵若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）
E
F
PC＝
PA - CE
M
已知正方形ABCD中,点M在边AB上,
点E在AB延长线上,MN⊥DM且交
∠CBE的平分线于N. 　(1)若M是AB中点,求证：MD=MN; 　(2)若M是AB上的任意一点,“MD=MN”还成立吗？请说明理由.
N
C
D
B
A
E
M
F
N
C
D
B
A
E
M
H
拓展提高
H
22．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，
求证：四边形ABCD是正方形．
E
C
D
B
A
O
24.如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°,DE⊥AD.
(1)画出将△ABE绕点B逆时针方向旋转90°后的图形，
使点E落在F处；
(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由.
F
26.操作设计:
在△ABC中,沿图示的中位线DE
剪一刀,可以拼成如图1所示的平
行四边形BCFD．
图1
F
E
D
C
B
A
(1)在△ABC中,若∠B＝90°,剪一刀,也可拼成矩形或等腰梯形,请将拼成的图形画在图2位置(只需画一个)
图2
C
B
A
26.操作设计:
在△ABC中,沿图示的中位线DE
剪一刀,可以拼成如图1所示的平
行四边形BCFD．
图1
F
E
D
C
B
A
图2
C
B
A
(2)在△ABC中,若AB=2BC,剪一刀,可拼成菱形, 请将拼成的图形画在图3位置；
C
B
A
图3
26.操作设计:
在△ABC中,沿图示的中位线DE
剪一刀,可以拼成如图1所示的平
行四边形BCFD．
图1
F
E
D
C
B
A
图2
C
B
A
(3)在△ABC中,需增加条件 ,沿着中位线剪一刀,也可拼成正方形,请将满足条件的三角形及拼成的图形一同画在图4位置；
C
B
A
图3
图4
AB=2BC且∠B＝90°
C
B
A
26.操作设计:
在△ABC中,沿图示的中位线DE
剪一刀,可以拼成如图1所示的平
行四边形BCFD．
图1
F
E
D
C
B
A
图2
C
B
A
(3)在△ABC中,若沿着某条线剪一刀,使之能拼成等腰梯形,请将拼成的图形画在图5位置(保留寻求剪裁线过程的痕迹)
C
B
A
图3
图4
C
B
A
图5
C
B
A
例2.把等腰Rt△ABC沿斜边上的高CD(裁剪线)剪
开,分割后的两部分能拼成 A′BCD(图1)
探究一:
(1)判断四边形A′BCD
是平行四边形的依据是
.
图1
A
C
B
D
A′
(2)按上述的裁剪方法,请
你拼一个与图1位置或
形状不同的平行四边形,
并在图2中画出示意图.
A'
图2
D
C
A
B
A'
探究二:
在等腰直角△ABC中,请你找
出其他的裁剪线，把分割成的
两部分拼出不同类型的特殊四
边形.
(1)你能拼得所有不同类型特殊
四边形有__________________
.它们的裁剪线是 ；
平行四边形、矩形、
三角形的一条中位线
等腰梯形
(2)请在图3中画出一个你拼得的
不同类型的特殊四边形示意图.
A'
D
B
C
A
E
图3
E
D
B
C
A
A'
A'
(烟台)如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BCD=90°,且CD=2AD, tan∠ABC=2,过点D作DE∥AB,交∠BCD的平分线于点E,连接BE.
例5
A
D
G
E
C
B
1
2
F
(2)将△BCE绕点C,顺时针旋转90°得到△DCG,连接EG,
求证:CD垂直平分EG.
(1)求证:BC=CD;
3
(3)延长BE交CD于点P,
求证:P是CD的中点.
P
4
5
6
45°
45°
△ABD≌△PBD
(ASA)
DP=DA
1. 如图所示,在直角梯形ABCD中，AD∥BC, ∠ B=90 °,AD=24cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动,P、Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为ts,t分别为何值时四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形
C
P
B
D
A
Q
24-t
3t
拓展提高
C
P
B
D
A
Q
E
F
┓
┓
24-t
3t
2
24
26
2
E
C
B
D
A
G
F
17.如图,在直角梯形纸片中AB∥DC∠A=90 ,CD>AD将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在DC边上的点E处，折痕为DF．连接GF并展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF是正方形；
（2）取线段AF的中点G,连接EG,如果BG=DC.试说明四边形GECB是等腰梯形．
这节课的收获是……
会用三角形与梯形的中位线的知识解决问题.