考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第1课 椭圆

第1课　椭圆
【考点导读】
掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;
了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
2.椭圆的离心率为
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
4. 已知椭圆的离心率，则的值为
5　椭圆的焦点 ，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为 9__
【范例导析】
例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
由椭圆的定义知，
，
∴，又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为。
（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为，∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为.②若焦点在y轴上，设方程为，∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为
方法二：设椭圆方程为.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即,又∴，∴椭圆的方程为或.
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中
.
例2.设椭圆的左焦点、右焦点分别为、，点P在椭圆上，,求证：的面积.
【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便.
解：设，，则，又，由余弦定理得
==，于是=，所以
，从而有=
【点拨】①解与△P F1F2（P为椭圆上的点）有关的问题,常用正弦定理或余弦定理，并且结合PF1+PF2=2a来求解。②注意解题过程中的整体消元方法.
例3.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(,),则=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得
则2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.
例4. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱
宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设
计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）
解:（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.
（2）解法一：
由椭圆方程，得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
解法二：由椭圆方程，得 于是
得以下同解一.
反馈练习：
1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍
4.若椭圆的离心率,则的值为
5.．椭圆的右焦点到直线的距离为
6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或 ( http: / / www. / )
7.已知数列的两顶点A、C是椭圆的二个焦点，顶点B在椭圆上，则
8.椭圆上的点到直线的最大距离是
9.若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2 2y的最大值为
10. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．
从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，
所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．
11.设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
解析：依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，
所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2，
=(1－a2)(y－)2－+1+a2 。
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则≤1, 当y=时, |PQ|取最大值，
若112.已知椭圆的焦点是F1（－1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|
的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P在第三象限，且∠P F1F2=120°，求tan∠F1PF2。
解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。
(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2 F1=60°－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到
,
∴化简可得,∴,
从而可求得tan∠F1PF2=。
例4图