考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第3课 双曲线

第3课　双曲线
【考点导读】
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
2. 方程表示双曲线，则的范围是
3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率
为
4. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为
5.过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为
【范例导析】
例1. (1) 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程
（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；
∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得，
∴即双曲线的标准方程为。
点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：
当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为
∵，∴ ①
∵在双曲线上
∴ ②
由①－②，得方程组无解
当焦点在y轴时，设双曲线方程为
∵，∴ ③
∵在双曲线上，∴ ④
由③④得，
∴所求双曲线方程为：且离心率
解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
∵点在双曲线上，∴
∴所求双曲线方程为：，即．
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．
例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离
，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范围是
点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.
反馈练习：
1.双曲线的渐近线方程为
2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为
3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是
4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=7
5.若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是
6.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程
7.已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上，且轴，则到直线F2M的距离为
8.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是
9.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为9
10. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．
（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：（1）设所求双曲线方程为：，则，
∴，∴，∴所求双曲线方程为
（2）∵，∴或，∴渐近线方程为
当焦点在轴上时，由且，得．
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时，由，且，得．
∴所求双曲线方程为
11.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值．
解：由过两点，，得的方程为．
由点到的距离为，得．
将代入，平方后整理，得．
令，则．解得或．
而，有．故或．
因，故，
所以应舍去．故所求离心率．
说明：此题易得出错误答案：或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率．而，故应舍去．
12.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）对于（2）中的点，求的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得
∴ 双曲线方程为；
（2）由（1）可知，，， ∴ ，
∴ ，， ∴ ，
又点在双曲线上， ∴ ，
∴ ， 即；
（3）
∴的面积为6．
13.已知双曲线的左右两个焦点分别为、，P为双曲线左支上一点，它到左准线的距离为，且使、、成等比数列，求离心率的取值范围。
解：由双曲线的两个定义可得：，
∵≥∴≥
又因为， ∴≤0 ∴≤
y
x
o
A
B
C
P
例2
第13题