考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第4课 抛物线

第4课　抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值
【范例导析】
例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．
解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，
∴d=｜PA｜=
==．
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x0=0时，dmin==a．
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0=a－1时，dmin=．
例2.如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标
令则，
∴由两点间的距离公式，得方程组：
解得或
∵△AMN为锐角三角形，∴，则，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
例3.设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线．
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，
∴上述条件等价于
∵， ∴上述条件等价于
即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F．
另解：（Ⅰ）∵抛物线，即，
∴焦点为
（1）直线的斜率不存在时，显然有
（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b
即直线：y=kx+b 由已知得：
即的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F
（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
即
设AB的中点N的坐标为，则
由
即得l在y轴上截距的取值范围为（）．
法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得
,
中点在抛物线内必
例4.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足．设圆的方程为
（1）证明线段是圆的直径;
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。
（1）证法一：∵，
∴，
即，
整理得．
∴
设点是以线段为直径得圆上得任意一点，则
即
展开上式并将带入得
故线段是圆的直径．
证法二：同法一得：
以 AB 为直径的圆的方程是
，
展开，并将①代入得
所以线段 AB 是圆 C 的直径
（2）解法一：设圆的圆心为则
∵
∴
又∵＝0
∴ ∴
∵，∴, ∴
∴
，
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心到直线 的距离为，则
当时，有最小值，由题设得，∴
解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为：
设直线与的距离为，则
当与仅有一个公共点时，
该点到的距离最小，最小值为，
由 ②
③
消x得，
由
得 （∵）
解法三：设圆的圆心为，则
若圆心到直线的距离为，那
∵
∴
又∵， ，
∵，∴
∴
当时，有最小值，由题设得，
反馈练习：
1.抛物线的准线方程是
2.抛物线的焦点到其准线的距离是
3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为
4.抛物线上的点到直线距离的最小值是
5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=
6.正OAB的三个顶点均在抛物线上,O为原点,则OAB的面积等于
7.已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是N(x0+4, 0) ( http: / / www. / )__（用x0表示）；
8.对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（－∞，2
9.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是
10.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.
解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=－25y.
由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
11.定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则
．
设点的横坐标为，纵坐标为，，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故
，
，．
所以，此时到轴的距离的最小值为．
说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．
12.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．
分析：可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.
解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得∴所求抛物线方程为
（2）证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：
在直角梯形中：
，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
13.已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程
解：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得
所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（2）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则
解得 所以点M的坐标为
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴
设BC所成直线的方程为
由消x得
所以 由（II）的结论得 解得
因此BC所在直线的方程为 即
点拨：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力
例2
A
x
O
y
6
7
第9题
第10题
第11题