考前最后一轮基础知识巩固之第九章 第5课 圆锥曲线的统一定义

第5课　圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
了解圆锥曲线的第二定义.
能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线的焦点的坐标是, 准线方程是
2..如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2
3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则=
4.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是
5.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部
分于七个点，是椭圆的一个焦点，则
【范例导析】
例1.（1）已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．（2）点是椭圆的短轴端点，椭圆的右焦点为F，为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1,求椭圆方程.
分析：（1）可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．（2）利用几何图形与椭圆性质求基本量.
解：（1）∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为
①若，则，
∴准线方程为：，∴，∴
②若，则，
∴准线方程为：，∴，∴
∴所求双曲线方程为：或
（2），
.
准线l的方程：，
所以 解之得于是.
故椭圆方程为.
点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.
例2. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为，设，，则
，．
在中，，
即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以
．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．
再根据焦半径，，从而求出．
点拨：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：，无解则相离；，一解则相切；，两解则相交，在解决过焦点的弦长问题，则可从以上三种思路考虑.
【例3】已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。
【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即 ①
再由双曲线的第一定义，得 ②
由①②，解得：
由在Δ中有 ， ③
利用，从③式得 解得
，与已知矛盾。
∴符合条件的点P不存在。
点拨：利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
反馈练习：
1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则
2.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，
与轴正向的夹角为，则为
3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
4.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为
5.已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为
6　双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8
7　过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p ( http: / / www. / ) q，则等于
8．设椭圆上有一点到左准线的距离为，是该椭圆的左焦点，若点满足则 2
9.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是
10.已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．
解：∵，，∴，∴
设点到与焦点相应准线的距离为则
∴，∴
至此，将问题转化成在双曲线上求一点，
使到定点的距离与到准线距离和最小．
即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，
解之得，点．
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．
11.已知椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点的坐标为。椭圆与y轴交于A、B两点，其中点A的坐标为
(1)、求此椭圆的方程； (2)、若点C在该椭圆上，且|CF1|＝4，请求此时△ABC的面积。
解：(1)由已知，可设椭圆方程为，
则可知，,得
∴该椭圆方程为：；
（2）由（1），椭圆的左准线为，离心率
如图，设点C到左准线的距离为|CE|、到y轴的距离为|CD|，则
又|CF1|＝4，得 |CE|=
又|DE|＝，得 |CD|＝
∴
12.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证的面积与椭圆短轴长有关．
分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
（），（）．
思路一：利用焦半径公式，，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积．
思路二：利用正弦定理、余弦定理，结合求解．
解：(法1)设椭圆方程为（），，，，，
则，．
在中，由余弦定理得
，
解得．
(1)∵，
∴，即．
∴．
故椭圆离心率的取范围是．
(2)将代入得
，即．
∴．
即的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设，，，，
则．
(1)在中，由正弦定理得
．
∴
∵，
∴，
∴
．
当且仅当时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是．
(2)在中，由余弦定理得：
∵，
∴，即．
∴．
即的面积与椭圆短轴长有关．
点拨：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路．
第5题
O
F
x
y
l
B1
B2
例1
第11题