第1课 椭圆
【考点导读】
掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;
了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
2.椭圆的离心率为
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
4. 已知椭圆的离心率，则的值为
5 椭圆的焦点 ，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为 9__
【范例导析】
例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
由椭圆的定义知，
，
∴，又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为。
（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为，∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为.②若焦点在y轴上，设方程为，∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为
方法二：设椭圆方程为.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即,又∴，∴椭圆的方程为或.
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中
.
例2.设椭圆的左焦点、右焦点分别为、，点P在椭圆上，,求证：的面积.
【分析】有关椭圆的焦半径问题用定义解决比较方便.
解：设，，则，又，由余弦定理得
==，于是=，所以
，从而有=
【点拨】①解与△P F1F2（P为椭圆上的点）有关的问题,常用正弦定理或余弦定理，并且结合PF1+PF2=2a来求解。②注意解题过程中的整体消元方法.
例3.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(,),则=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得
则2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=.
∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.
例4. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱
宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设
计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）
解:（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.
（2）解法一：
由椭圆方程，得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
解法二：由椭圆方程，得 于是
得以下同解一.
反馈练习：
1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍
4.若椭圆的离心率,则的值为
5.．椭圆的右焦点到直线的距离为
6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或 ( http: / / www. / )
7.已知数列的两顶点A、C是椭圆的二个焦点，顶点B在椭圆上，则
8.椭圆上的点到直线的最大距离是
9.若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，则x2 2y的最大值为
10. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．
从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，
所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．
11.设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
解析：依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，
所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2，
=(1－a2)(y－)2－+1+a2 。
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则≤1, 当y=时, |PQ|取最大值，
若1
12.已知椭圆的焦点是F1（－1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|
的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P在第三象限，且∠P F1F2=120°，求tan∠F1PF2。
解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。∴2a=4，∴b=。∴椭圆方程为。
(2)设∠F1PF2=θ,则∠PF2 F1=60°－θ,由正弦定理并结合等比定理可得到
,
∴化简可得,∴,
从而可求得tan∠F1PF2=。
例4图圆锥曲线
【知识图解】
【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
定义
标准方程
椭圆
几何性质
标准方程
定义
几何性质
圆锥曲线
圆锥曲线应用
双曲线
标准方程
定义
抛物线
几何性质第5课 圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
了解圆锥曲线的第二定义.
能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线的焦点的坐标是, 准线方程是
2..如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2
3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则=
4.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是
5.如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部
分于七个点，是椭圆的一个焦点，则
【范例导析】
例1.（1）已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．（2）点是椭圆的短轴端点，椭圆的右焦点为F，为等边三角形，点F到椭圆右准线l的距离为1,求椭圆方程.
分析：（1）可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．（2）利用几何图形与椭圆性质求基本量.
解：（1）∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为
①若，则，
∴准线方程为：，∴，∴
②若，则，
∴准线方程为：，∴，∴
∴所求双曲线方程为：或
（2），
.
准线l的方程：，
所以 解之得于是.
故椭圆方程为.
点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.
例2. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
分析：此类题目是求弦长问题，这种题目方法很多，可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
．
因为，，所以．
又因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为
．
由直线方程与椭圆方程联立得
．
设，为方程两根，
所以，，，
从而．
(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为，设，，则
，．
在中，，
即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以
．
(法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．
再根据焦半径，，从而求出．
点拨：对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方程联立，看联立后方程解的个数：，无解则相离；，一解则相切；，两解则相交，在解决过焦点的弦长问题，则可从以上三种思路考虑.
【例3】已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。
【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即 ①
再由双曲线的第一定义，得 ②
由①②，解得：
由在Δ中有 ， ③
利用，从③式得 解得
，与已知矛盾。
∴符合条件的点P不存在。
点拨：利用定义及假设求出离心率的取值是关键。
反馈练习：
1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则
2.设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，
与轴正向的夹角为，则为
3.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
4.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为
5.已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为
6 双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8
7 过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p ( http: / / www. / ) q，则等于
8．设椭圆上有一点到左准线的距离为，是该椭圆的左焦点，若点满足则 2
9.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是
10.已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．
解：∵，，∴，∴
设点到与焦点相应准线的距离为则
∴，∴
至此，将问题转化成在双曲线上求一点，
使到定点的距离与到准线距离和最小．
即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，
解之得，点．
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．
11.已知椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点的坐标为。椭圆与y轴交于A、B两点，其中点A的坐标为
(1)、求此椭圆的方程； (2)、若点C在该椭圆上，且|CF1|＝4，请求此时△ABC的面积。
解：(1)由已知，可设椭圆方程为，
则可知，,得
∴该椭圆方程为：；
（2）由（1），椭圆的左准线为，离心率
如图，设点C到左准线的距离为|CE|、到y轴的距离为|CD|，则
又|CF1|＝4，得 |CE|=
又|DE|＝，得 |CD|＝
∴
12.已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)求证的面积与椭圆短轴长有关．
分析：不失一般性，可以设椭圆方程为
（），（）．
思路一：利用焦半径公式，，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积．
思路二：利用正弦定理、余弦定理，结合求解．
解：(法1)设椭圆方程为（），，，，，
则，．
在中，由余弦定理得
，
解得．
(1)∵，
∴，即．
∴．
故椭圆离心率的取范围是．
(2)将代入得
，即．
∴．
即的面积只与椭圆的短轴长有关．
(法2)设，，，，
则．
(1)在中，由正弦定理得
．
∴
∵，
∴，
∴
．
当且仅当时等号成立．
故椭圆离心率的取值范围是．
(2)在中，由余弦定理得：
∵，
∴，即．
∴．
即的面积与椭圆短轴长有关．
点拨：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路．
第5题
O
F
x
y
l
B1
B2
例1
第11题第3课 双曲线
【考点导读】
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
2. 方程表示双曲线，则的范围是
3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率
为
4. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为
5.过双曲线的右焦点F2有一条弦PQ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为
【范例导析】
例1. (1) 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程
（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；
∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得，
∴即双曲线的标准方程为。
点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：
当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为
∵，∴ ①
∵在双曲线上
∴ ②
由①－②，得方程组无解
当焦点在y轴时，设双曲线方程为
∵，∴ ③
∵在双曲线上，∴ ④
由③④得，
∴所求双曲线方程为：且离心率
解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
∵点在双曲线上，∴
∴所求双曲线方程为：，即．
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．
例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离
，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范围是
点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.
反馈练习：
1.双曲线的渐近线方程为
2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为
3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是
4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=7
5.若表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是
6.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程
7.已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上，且轴，则到直线F2M的距离为
8.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形，若双曲线恰好平分正三角形的另两边，则双曲线的离心率是
9.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为9
10. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．
（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：（1）设所求双曲线方程为：，则，
∴，∴，∴所求双曲线方程为
（2）∵，∴或，∴渐近线方程为
当焦点在轴上时，由且，得．
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时，由，且，得．
∴所求双曲线方程为
11.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值．
解：由过两点，，得的方程为．
由点到的距离为，得．
将代入，平方后整理，得．
令，则．解得或．
而，有．故或．
因，故，
所以应舍去．故所求离心率．
说明：此题易得出错误答案：或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率．而，故应舍去．
12.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；
（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）对于（2）中的点，求的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得
∴ 双曲线方程为；
（2）由（1）可知，，， ∴ ，
∴ ，， ∴ ，
又点在双曲线上， ∴ ，
∴ ， 即；
（3）
∴的面积为6．
13.已知双曲线的左右两个焦点分别为、，P为双曲线左支上一点，它到左准线的距离为，且使、、成等比数列，求离心率的取值范围。
解：由双曲线的两个定义可得：，
∵≥∴≥
又因为， ∴≤0 ∴≤
y
x
o
A
B
C
P
例2
第13题第4课 抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值
【范例导析】
例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．
解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，
∴d=｜PA｜=
==．
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x0=0时，dmin==a．
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0=a－1时，dmin=．
例2.如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标
令则，
∴由两点间的距离公式，得方程组：
解得或
∵△AMN为锐角三角形，∴，则，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
例3.设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线．
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．
解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，
∴上述条件等价于
∵， ∴上述条件等价于
即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F．
另解：（Ⅰ）∵抛物线，即，
∴焦点为
（1）直线的斜率不存在时，显然有
（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b
即直线：y=kx+b 由已知得：
即的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F
（II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；
A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
即
设AB的中点N的坐标为，则
由
即得l在y轴上截距的取值范围为（）．
法二:y1=2x12, y2=2x22, 相减得
,
中点在抛物线内必
例4.已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足．设圆的方程为
（1）证明线段是圆的直径;
（2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求P的值。
（1）证法一：∵，
∴，
即，
整理得．
∴
设点是以线段为直径得圆上得任意一点，则
即
展开上式并将带入得
故线段是圆的直径．
证法二：同法一得：
以 AB 为直径的圆的方程是
，
展开，并将①代入得
所以线段 AB 是圆 C 的直径
（2）解法一：设圆的圆心为则
∵
∴
又∵＝0
∴ ∴
∵，∴, ∴
∴
，
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心到直线 的距离为，则
当时，有最小值，由题设得，∴
解法二：同法一得：圆心的轨迹方程为：
设直线与的距离为，则
当与仅有一个公共点时，
该点到的距离最小，最小值为，
由 ②
③
消x得，
由
得 （∵）
解法三：设圆的圆心为，则
若圆心到直线的距离为，那
∵
∴
又∵， ，
∵，∴
∴
当时，有最小值，由题设得，
反馈练习：
1.抛物线的准线方程是
2.抛物线的焦点到其准线的距离是
3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为
4.抛物线上的点到直线距离的最小值是
5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=
6.正OAB的三个顶点均在抛物线上,O为原点,则OAB的面积等于
7.已知抛物线y2=8x上两个动点A、B及一个定点M（x0, y0），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N则点N的坐标是N(x0+4, 0) ( http: / / www. / )__（用x0表示）；
8.对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（－∞，2
9.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A（0，9），其轨迹方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）为x轴上的给定区间．为使物体落在D内，a的取值范围是
10.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.
解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=－25y.
由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
11.定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．
分析：线段中点到轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则
．
设点的横坐标为，纵坐标为，，则．
等式成立的条件是过点．
当时，，故
，
，．
所以，此时到轴的距离的最小值为．
说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．
12.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．
分析：可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.
解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得∴所求抛物线方程为
（2）证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：
在直角梯形中：
，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
13.已知点A（2，8），在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程
解：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有 解得
所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）
（2）如图，由F（8，0）是的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 设点M的坐标为，则
解得 所以点M的坐标为
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴
设BC所成直线的方程为
由消x得
所以 由（II）的结论得 解得
因此BC所在直线的方程为 即
点拨：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力
例2
A
x
O
y
6
7
第9题
第10题
第11题本章测试
一填空
若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是(0, 1)
2.抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为
3.有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率，则所有这些椭圆的长轴长之和为 4
4.已知双曲线－＝1的一条准线与抛物线y＝4x的准线重合,则双曲线的离心率为
5.已知椭圆的两个焦点为 ，且，弦AB过点，则△的周长为
6.以坐标轴为对称轴 ( http: / / www. / ) 渐近线互相垂直 两准线间距离为2的双曲线方程是
7.椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是±
8.椭圆内有一点，F为右焦点，椭圆上的点M使得的值最小，则点M的坐标为
9.已知P是以F1、F2为焦点的椭圆(a>b>0)上一点，若=0，tan∠PF1F2=1/2，则此椭圆的离心率为
10.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的准线方程是
11.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，
则
12.M是抛物线上一点，N是圆关于直线的对称圆C上的一点，则的最小值是
13.已知椭圆有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的
一个交点，则= m-p .
14.如图，B地在A地的正东方向4 km处，C
地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流
的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上
选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物.经测算，从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，
那么修建这两条公路的总费用最低是5a万元
二解答题:
15.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。
， ∴，
，故所求椭圆的标准方程为+；
（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：
、（0，-6）、（0，6）
设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，
， ∴，
，故所求双曲线的标准方程为-。
点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力
16.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,试讨论直线AK与圆M的位置关系.
解(1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.
∴抛物线方程为y2=4x.
(2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-,
则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,
∴N的坐标(,).
由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1
∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切;
当m<1时, AK与圆M相交.
17. 如图,一船在水面上的高度为5米，船顶宽4米．现要通过一抛物线型桥洞，该抛物线方程为，测得河面宽10米(河面宽与桥洞宽相同)，问：该船能否通过桥洞？请说明理由．若不能，只得等落潮退水。当河面宽至少为多少米时，该船才能通过桥洞？（精确到.米）．
解: 将x=2代入得y=
将x=5代入得y=
∵ —()=<5
∴该船不能通过桥洞 设当落潮后河面的宽度为2a米时船才能通过,
则: —()≥5 (a>5) ∴≥44 ∴a≥6.5
答:河面宽10米时船不能通过桥洞而当河面宽13米或宽于13米时船能通过桥洞
18.如图,在Rt△ABC中，∠CAB=，AB=2，AC=. 一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变，直线m⊥AB于O，AO=BO.
（1）建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
（2）设D为直线m上一点,,过点D引
直线l交曲线E于M、N两点,且保持直线l与
AB成角,求四边形MANB的面积.
解：（1）以AB、m所在直线分别为x轴、y轴，O为原点建立平面直角坐标系.
∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a、b，半焦距为c，则
∴曲线E方程为
（2）由题设知，，
由直线l与AB成角，可设直线方程为，代入椭圆方程整理得
设， 则
所以，四边形MANB的面积
=
19.已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
解：（I）
圆过点O、F，
圆心M在直线上。
设则圆半径
由得
解得
所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点
则
的垂直平分线NG的方程为
令得
点G横坐标的取值范围为
第14题
第17题
A
B
O
D
M
y
N
C
第18题
x
第19题第2课 椭圆
【考点导读】
掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;
能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
1.曲线与曲线的（D）
A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等
2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是
3．椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是
4 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是
5.设椭圆上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足，则__2___
【范例导析】
例1.已知点A的坐标是(1,1)，F是椭圆的左焦点,点P在椭圆上移动，
（1）求的最小值并求取最小值时点P的坐标;
（2）求的最大值和最小值.
分析：此题与椭圆的焦点有关，考虑到椭圆的离心率为，因此第一问可以根据第二定义转化为点P到左准线的问题，而第二问不能根据第二问来转化，我们可以考虑第一定义.
解:由椭圆方程可知a=3,b=,则c=2,,
过P向椭圆的左准线作垂线，垂足为Q，,则据椭圆的第二定义知,∴.
从而=.易知当A、P、Q在同一条线上时， 最小，最小值为，此时点P.
（2）设椭圆右焦点为,则∴=，利用-≤≤∴≤6+,≥6-.
点拨:一般地，遇到有关焦点或准线问题，首先应考虑定义来解题，根据题目条件和所要求解的结论选择第一或第二定义.
例2.椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。
（1）求离心率e的取值范围；
（2）当离心率e最小时，点N(0，3)到椭圆上一点的最远距离为，求此椭圆的方程。
分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.
解：（1）设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①
①又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。
∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。
又∵0＜＜1，∵≤≤1。
（2）当离心率取最小值时，椭圆方程可表示为。
设点H(x，y)是椭圆上的一点，则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=- (y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b)。若0＜b＜3，则0＞-b＞-3，当y=-b时，|HN|2有最大值b2+6b+9。由题意知：b2+6b+9=50，b=或b=-，这与0点拨：解几中求基本量a、b、c、e等取值范围的解题思路一般可以做如下考虑①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解.
例3.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，
求m的取值范围.
分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决；第三问建立m的函数表达式，转化为求函数值域.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得
(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.
得
①－②得9(x12－x22)+25(y12－y22)=0,
即9×=0(x1≠x2)
将 (k≠0)代入上式，得9×4+25y0(－)=0
(k≠0)
即k=y0(当k=0时也成立).
由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,
所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.
由点P(4，y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，
得－＜y0＜,所以－＜m＜.
解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为
y－y0=－(x－4)(k≠0) ③
将③代入椭圆方程=1,得
(9k2+25)x2－50(ky0+4)x+25(ky0+4)2－25×9k2=0
所以x1+x2==8,解得k=y0.(当k=0时也成立)
(以下同解法一).
点拨:本题涉及到弦的中点问题，既可以用点差法，也可以考虑将弦所在直线方程与曲线的方程联立方程组结合韦达定理解决.
反馈练习：
1.从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为72
2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
3．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为
4.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为
5.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12
6.设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是
7.若椭圆内有一点P（1,-1）,F为右焦点，椭圆上有一点M，使最小，则点M为
8．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
9. 设为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于 2 .
10.椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．
（1）求证；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．
证明：（1）由椭圆方程知，，．
由圆锥曲线的统一定义知：，
∴ ．
同理 ．
∵ ，且，
∴ ，
即 ．
（2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为
．
又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得
又∵点，都在椭圆上，
∴
∴ ．
将此式代入①，并利用的结论得
∴ ．
11.已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在，设，由已知条件得
，，∴，．
∵左准线的方程是，
∴．
又由焦半径公式知：
，
．
∵，
∴．
整理得．
解之得或． ①
另一方面． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．
12.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
（1）若是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当取得最小值时，
在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
解：（1） ，
，
于是，
所求“果圆”方程为，．
（2）设，则
，
， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处．
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可．
．
当，即时，的最小值在时取到，
此时的横坐标是．
当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是．
综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．
例3
①
②
y
O
.
.
.
M
x
.
第12题