第四章 图形的平移与旋转
2 图形的旋转
知识点一 旋转的定义
旋转
旋转角
知识点一 旋转的定义
旋转
在平面内,将一个图形绕一个定点按某一个方向(逆时针方向或顺时针方向)转动一定的角度,图形的这种变化叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,这个角叫做旋转角.旋转前图形上的点与旋转后所到达的点叫做对应点.
旋转三要素:旋转中心,旋转角,旋转方向
旋转角
知识点一 旋转的定义
旋转
在平面内,将一个图形绕一个定点按某一个方向(逆时针方向或顺时针方向)转动一定的角度,图形的这种变化叫做旋转.这个定点叫做旋转中心,这个角叫做旋转角.旋转前图形上的点与旋转后所到达的点叫做对应点.
旋转三要素:旋转中心,旋转角,旋转方向
旋转角
转动的角叫做旋转角,且任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角
例1 如图所示,将等腰直角△ABC按顺时针方向旋转后得到△AB′C′,指出哪一点是旋转中心,并写出旋转角的度数.
解析 观察图形发现,点A是旋转过程中不动的点,故点A为旋转中心,△ABC绕点A按顺时针方向旋转后,AC与AC′重合,AB与AB′重合,故∠CAC′为旋转角.又因为△ABC是等腰直角三角形,所以∠CAC′=45°,所以旋转角的度数为45°.
解析 观察图形发现,点A是旋转过程中不动的点,故点A为旋转中心,△ABC绕点A按顺时针方向旋转后,AC与AC′重合,AB与AB′重合,故∠CAC′为旋转角.又因为△ABC是等腰直角三角形,所以∠CAC′=45°,所以旋转角的度数为45°.
点拨 一个图形由一个位置旋转到另一个位置,如果有固定不动的点,那么这个点就是旋转中心,此时对应边的夹角等于旋转角.
知识点二 旋转的性质
一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.
例2 如图所示,将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上,连接AD,则下列结论一定正确的是( )
A.∠ABD=∠E B.∠CBE=∠C C.AD∥BC D.AD=BC
解析 ∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠DAB=∠CBE∴AD∥BC,故选C.
解析 ∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,∴∠ABD=∠CBE=60°,AB=BD,∴△ABD是等边三角形,∴∠DAB=60°,∴∠DAB=∠CBE∴AD∥BC,故选C.
点拨 旋转变化是全等变化,因此在旋转问题中有相等的线段和相等的角,从而可以出现等腰三角形.
知识点三 旋转作图
旋转作图
的依据
作图要素
作图步骤
知识点三 旋转作图
旋转作图
的依据
(1)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素
作图步骤
知识点三 旋转作图
旋转作图
的依据
(1)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素
(1)原图形;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一组对应点
作图步骤
知识点三 旋转作图
旋转作图
的依据
(1)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素
(1)原图形;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一组对应点
作图步骤
(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心;
(2)转:根据旋转方向与旋转角,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角;
(3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点,依次得到各个对应点;
(4)接:按原图形顺次连接所得到的各对应点.
知识点三 旋转作图
旋转作图
的依据
(1)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等
作图要素
(1)原图形;(2)旋转中心;(3)旋转方向;(4)旋转角;(5)一组对应点
作图步骤
(1)连:连接原图形中一个关键点与旋转中心;
(2)转:根据旋转方向与旋转角,以(1)中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角;
(3)截:在该旋转角的另一边上,从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度,得到该点的对应点,依次得到各个对应点;
(4)接:按原图形顺次连接所得到的各对应点.
注意:为了避免作图时的混乱,以上连、转、截这三步每个点独立完成后,再进行下一个点的旋转
例3 如图所示,将△ABC绕O点旋转,已知D点是△ABC旋转后A点的对应点,请作出旋转后的△DMN.
解析 (1)连接AO,DO(找到旋转角);
(2)连接OB,OC,按顺时针方向分别作∠BOE=∠AOD∠COF=∠AOD(找到关键点的对应点所在的射线);
(3)分别在OE,OF上截取OM=OB,ON=OC(截取相等线段,利用对应点到旋转中心的距离相等找到旋转后关键点的对应点);(4)连接DM,MN,ND(连接关键点的对应点);
(5)如图所示,△DMN即为所求作的图形.
经典例题
题型一 旋转性质的应用
例1 如图所示,点P是正方形ABCD的边CD上一点,连接AP,∠BAP的平分线交BC于点Q,试说明AP=DP+BQ.
题型一 旋转性质的应用
分析
如何把线段DP与BQ转移到一条直线上作和是解决本题的关键.将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,根据旋转的性质只需说明AP=PE即可.
题型一 旋转性质的应用
证明 如图所示,将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,
则∠EAQ=90°,DE=BQ,∠1=∠2,∠ADE=∠B=90°.
又∵∠ADC=90°,∴∠ADE+∠ADC=180°,
∴点E,D,C共.线∵AQ平分∠PAB,∴∠3=∠2.
在Rt△ADE中,∵∠E+∠1=90°,
∴∠E=90°-∠1=90°-∠2.
又∵∠PAE+∠3=90°,∴∠PAE=90°-∠3=90°-∠2,
∴∠E=∠PAE,∴EP=AP.
∵EP=DP+DE=DP+BQ,∴AP=DP+BQ.
题型二 旋转的概念与性质的综合应用
例2 在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置,点E在斜边AB上,连接BD,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)如图①,若点F与点A重合,求证:AC=BC;
(2)如图②,若点F在线段CA的延长线上∠DAF=∠DBA,请判断线段AF与BE的数量关系,并说明理由.
分析
(1)由旋转的性质可得∠BAC=∠BAD,结合垂直的性质易得∠ABC=∠CAB=45°,可得AC=BC.
(2)由“AAS”可证△AFD≌△BED,由此可得AF=BE.
解析 (1)证明:由旋转得∠BAC=∠BAD,∵DF⊥AC,
∴∠CAD=90°,∴∠BAC=∠BAD=45°.
∵∠ACB=90°,∴∠ABC=∠CAB=45°,∴AC=BC.
(2)AF=BE.理由:由旋转得AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠DAF=∠ABD,∴∠DAF=∠ADB,∴AF∥BD,
∴∠BAC=∠ABD,由旋转得∠BAC=∠BAD,
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=????????×180°=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,
在△AFD和△BED中,∠????=∠????????????=????????°,∠????????????=∠????????????,????????=????????,?∴△AFD≌△BED(AAS),
∴AF=BE.