22.2二次函数与一元二次方程 优生辅导专题提升训练 2021-2022学年人教版九年级数学上册 (Word版 含答案)

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》优生辅导
专题提升训练（附答案）
1．如下表是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值，由此可以判断该二次函数的图象与x轴（　　）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5 …
A．只有一个公共点 B．有两个公共点，分别位于y轴的两侧
C．有两个公共点，都位于y轴同侧 D．没有公共点
2．对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（　　）
A．开口向上 B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点 D．顶点坐标是（2，1）
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下
B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
4．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．如图是二次函数y＝x2+bx+c的部分图象，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．给出下列结论：
①b＝c；
②点B的坐标为（0，﹣3）；
③抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0）；
④抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
⑤函数最大值为﹣4．
其中正确的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标是（﹣1，1）
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．该图象与x轴有两个交点
7．已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（　　）
A． B． C．1 D．2
8．已知关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法不正确的是（　　）
A．对任意实数k，函数图象与x轴都有两个不同的交点
B．对任意实数k，函数图象都经过点（﹣，﹣）
C．对任意实数k，当x＞﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大
D．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ 0 1 …
y … 3 ﹣2 ﹣5 ﹣ ﹣5 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（　　）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与y轴交于正半轴
C．方程ax2+bx+c＝0的正根在1与2之间 D．当x＝﹣时，函数值最小
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（　　）
A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，则y＞0时，x的取值范围　 　．
13．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0），交x轴于点A、B，交y轴于点C，已知A的横坐标为﹣1．
（1）求点B的坐标．（用含b的代数式表示）
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，平移线段CB，使点C与D重合，此时点B恰好落在抛物线上，求b的值．
15．如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
16．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A（6，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）若二次函数y＝x2﹣2ax+n图象的顶点在直线AB上，
①设a＝﹣2，当﹣3≤x≤3时，求y的取值范围；
②二次函数y＝x2﹣2ax+n与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围．
18．已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
19．抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC．
（1）求点C坐标以及这条抛物线的解析式；
（2）若点P（x1，b）与点Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1＜x2，PQ＝n．
①求4x12﹣2x2n+6n的值；
②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与过（0，2）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，b的取值范围是　 　．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P点为直线BC上方抛物线上的一个动点，存不存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN长度的最大值．
22．已知二次函数y＝ax2+bx+的图象的对称轴是直线x＝1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出y＞0时x的取值范围；
（2）求此图象所对应的函数关系式；
（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．
参考答案
1．解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于﹣0.5＜0，
根据二次函数的图象对称性可得：x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
因此判断该二次函数的图象的开口向上，与x轴有两个交点，分别位于y轴的两侧，
故选：B．
2．解：A、二次项系数a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），结论错误，不符合题意；
C、Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝4＞0，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；
D、由y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标为（2，1），结论正确，符合题意；
故选：D．
3．解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
4．解：①由图象顶点（2，9）可得y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入y＝a（x﹣2）2+9得0＝36a+9，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝y＝﹣x2+x+8，
故①错误．
②∵5.5﹣2＞2﹣（﹣1），
点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，
∴m＜n，
故②正确．
③∵图象对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），
∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2﹣8＝﹣4，
故③正确．
④由图象可得当x＝0时y＝8，x＝5.5时y＝m，x＝2时y＝9，
∴0＜x＜5.5时，m≤y≤9．
故④错误．
故选：C．
5．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），
∴，抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），故③正确，符合题意；
解得，
∴b≠c，故①错误，不符合题意；
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣3），故②正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故④正确，符合题意；
函数图象开口向上，当x＝1时，取得最小值﹣4，故⑤错误，不符合题意；
故选：C．
6．解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1，
∴A选项错误，B选项正确，
∵抛物线开口向上，顶点为（1，1），
∴抛物线与x轴无交点，D选项错误，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，C选项错误．
故选：B．
7．解：∵A（1，n），B（3，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+c
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4，
把A（1，n）代入得n＝1﹣4+4＝1．
故选：C．
8．解：∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1）＝4k2﹣4k+4＝（2k﹣1）2+3≥3＞0，
∴二次函数y＝x2+2kx+k﹣1图象与x轴都有两个不同的交点，故A正确，不符合题意；
∵y＝x2+2kx+k﹣1＝（2x+1）k+x2﹣1，
∴当2x+1＝0，即x＝﹣时，y＝﹣，
∴二次函数y＝x2+2kx+k﹣1图象都经过点（﹣，﹣），
故B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴x＝﹣k，
∴x≥﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，
故C不正确，符合题意；
∵二次函数y＝x2+2kx+k﹣1图象的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），
设顶点坐标为（x，y），则x＝﹣k有k＝﹣x，代入y＝﹣k2+k﹣1得：
y＝﹣（﹣x）2+（﹣x）﹣1＝﹣x2﹣x﹣1，
∴函数y＝x2+2kx+k﹣1图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
9．解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
10．解：∵抛物线过点（﹣2，﹣5），（0，﹣5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，所以A选项错误；
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣5），
∴抛物线与y轴交于负半轴，所以B选项错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则x＝1时，y＝﹣2；x＝2，y＝3，
∴方程ax2+bx+c＝0的正根在1与2之间，所以C选项正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时的函数值最小，所以D选项错误．
故选：C．
11．解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故选：A．
12．解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0），
∴y＞0时，x的取值范围为x＜﹣4或x＞2．
故答案为x＜﹣4或x＞2．
13．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得a?9+4＝﹣5，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵函数的图象与x轴相交于点E、F，则令y＝0，
即﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
∴EF＝4．
∵二次函数与y轴相交于C，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
∴S△EFC＝?OC＝＝6．
14．（1）∵y＝﹣x2+bx+c，
∴对称轴为直线，
∴，
∵A点横坐标为﹣1，
∴B（b+1，0）．
（2）对称轴直线x＝与x轴交点为（，0），
把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
得：﹣1﹣b+c＝0，即c＝b+1，
∵平移线段CB，使C与D重合点，
∴B平移后得点，
∵点B在抛物线上，
∴，
解得，
∵b＞0，
∴．
15．解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x?﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x?﹣4x．
16．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
17．解：（1）A（6，0），B（0，﹣6）代入一次函数y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x﹣6；
（2）二次函数y＝x2﹣2ax+n图象的顶点为（a，﹣a2+n），
∵顶点在直线AB上，
∴﹣a2+n＝a﹣6，可得n＝a2+a﹣6，
①a＝﹣2时，n＝﹣4，二次函数为y＝x2+4x﹣4，顶点坐标为：（﹣2，﹣8），
当x＝﹣3时，y＝﹣7，
当x＝3时，y＝17，
如图：
∴当﹣3≤x≤3时，y的取值范围是﹣8≤y≤17；
②二次函数y＝x2﹣2ax+n＝x2﹣2ax+a2+a﹣6，抛物线开口向上，顶点为（a，a﹣6），
△＝（﹣2a）2﹣4（a2+a﹣6）＝﹣4a+24，
图象与x轴正半轴始终有交点，分两种情况：
（一）a＞0时，只需满足△≥0，
∴﹣4a+24≥0，解得a≤6，
∴0＜a≤6，
（二）a≤0时，需满足△≥0，且图象与y轴交点的纵坐标a2+a﹣6＜0，即（a+3）（a﹣2）＜0，
解得：﹣3＜a＜2，
∴﹣3＜a≤0，
综上所述，图象与x轴正半轴始终有交点，0＜a≤6或﹣3＜a≤0．
18．解：（1）因为b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以该函数图像与x轴总有两个公共点；
（2）当y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1．
函数图像与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），
因为函数图像与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，
所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．
19．解：（1）解法一：∵抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB＝OC，
∴B（3，0）或B（﹣3，0），
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴抛物线经过点B（3，0），
∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
解法二：令y＝0，∴mx2+（m﹣3）x﹣3＝0．∴（x+1）（mx﹣3）＝0．
∴x＝﹣1，x＝，
∵m＞0，点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（，0），
令x＝0，可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OB＝OC，
∴＝3，
∴m＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）①由抛物线y＝x2﹣2x﹣3可知对称轴为直线x＝1，
∵点P（x1，b）与点Q（x2，b）在这条抛物线上，且x1＜x2，PQ＝n，
∴x1＝1﹣，x2＝1+，
∴2x1＝2﹣n，2x2＝2+n，
∴原式＝（2﹣n）2﹣（2+n）n+6n＝4．
②
结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：﹣4＜b＜﹣1或b＝2．
故答案为：﹣4＜b＜﹣1或b＝2．
20．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在．
过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设P点坐标为（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），
∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵S△PBC＝S△OBC，
∴×3×（﹣m2+3m）＝××3×3，
整理得2m2﹣6m+3＝0，解得m1＝，m2＝，
∴P点坐标为（，）或（，）．
21．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴，
解得，
即这个二次函数的表达式是y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即点C的坐标为（0，﹣3），
设直线AC的函数表达式为y＝kx+a，
，
解得，
即直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点P的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，﹣m﹣3），点N的坐标为（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，MN取得最大值，此时MN＝，
即线段MN长度的最大值是．
22．解：（1）∵对称轴为x＝1，A为（﹣1，0），
∴B为（3，0），且点，
根据A、B、C三个点的坐标，绘制函数图象示意图如下图所示：
从图象看，y＞0时x的取值范围为﹣1＜x＜3；
（2）由题意得，解得，
∴抛物线解析式为；
（3）根据题意可知，当P为顶点时△ABP的面积最大，
由（2）可求得其顶点坐标为（1，2），且AB＝4，
∴，
即△ABP面积的最大值为4