4.3 中心对称同步练习（含答案）
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第四章 图形的平移与旋转
3 中心对称
知识能力全练
知识点一 中心对称的定义及性质
1.在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B＇C′关于原点O成中心对称的是（ ）
2.如图所示，△ABC与△A′B＇C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A.OC＝OC＇ B.OA＝OA＇ C.BC＝B＇C＇ D.∠ABC＝∠A＇C＇B′
3.如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（ ）
A.（3，-1） B.（0，0） C.（2，-1） D.（-1，3）
4.如图所示，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是____________.
5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD.
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和数量关系？说明你的理由；
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积.
知识点二 中心对称作图
6.如图所示，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B＇C′D＇，使四边形A′B＇C′D＇和四边形ABCD关于点O成中心对称.（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
7.如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O.
（1）平移△ABC，使得点A与点O重合，画出平移后的△A′B＇C＇；
（2）画出△DEF，使它与△ABC关于点O成中心对称；
（3）判断△A＇B＇C′与△DEF是否成中心对称.
知识点三 中心对称图形的概念
8.下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
知识点四 中心对称图形的性质
9.下图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，AB＝2，则BB的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示，直线a、b垂直相交于点O，曲线C是中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为__________.
巩固提高全练
11.下列图形中，是中心对称图形的为（ ）
12.如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（01），（-1，0）.一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；……，照此规律重复下去，则点P2020的坐标为___________.
13.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）设P（a，b）为△ABC的边上一点，在△A2B2C2中与点P对应的点是P1，则点P1的坐标为___________.
14.古钱币是我国悠久的历史文化遗产，下图是从《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
15.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
16.如图所示，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（-1，1），C（3，1）.△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B＇C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为__________.
17.如图所示，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后所得的三角形.
18.如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，……，依次类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A.（4039，-1） B.（4039，1） C.（2020，-1） D.（2020，1）
19.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:
在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD长的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:如图①，延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
【感悟】解题时，若条件中出现“中点”“中线”字样，则可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中在同一个三角形中.
解决问题:
如图②，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
（1）求证:BE＋CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探究线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.
参考答案
1.D 2.D 3.A 4.
5.解析（1）AE与BD平行且相等理由如下:
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，CE＝BC，
又∵∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，
∴AE∥BD.∴AE与BD平行且相等.
（2）∵BC＝CE，∴S△ABC＝S△ACE，S△BCD＝S△CED,
又∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB,∴S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△ACE,
∵△ABC的面积为5cm2，∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2.
6.解析 如图所示.
7.解析 （1）如图，△A＇B＇C′即为所求作的图形.
（2）如图，△DEF即为所求作的图形.
（3）△A′B＇C′与△DEF成中心对称.
8.A 9.D 10. 6 11.C 12.（2,2）
13.解析（1）如图，△A1B1C1即为所求作的图形.
（2）如图，△A2B2C2即为所求作的图形.
（3）点P1的坐标为（b，-a）.
14.D 15.A 16.（-2，1）
17.解析（1）如图所示，△DCE为所求作的三角形.（答案不唯一）
（2）如图所示，△ACD为所求作的三角形.（答案不唯一）
（3）如图所示，△ECD为所求作的三角形.
18.A
19.解析（1）证明:如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接BG、EG（或把△CFD绕点D旋转180°得到△BGD），
∵DE⊥GF，∴EF＝EG.
易知CF＝BG，在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF.
（2）BE2＋CF2＝EF2.
证明: ∵∠A＝90°，∴∠EBC＋∠FCB＝90°，
又∵∠FCD＝∠DBG，∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2＋BC2＝EC2，
又∵EF＝EG，BG＝FC，∴BE2＋CF2＝EF2.
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第四章 图形的平移与旋转
3 中心对称
知识能力全练
知识点一 中心对称的定义及性质
1.在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B＇C′关于原点O成中心对称的是（ ）
2.如图所示，△ABC与△A′B＇C′关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A.OC＝OC＇ B.OA＝OA＇ C.BC＝B＇C＇ D.∠ABC＝∠A＇C＇B′
3.如图所示，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（ ）
A.（3，-1） B.（0，0） C.（2，-1） D.（-1，3）
4.如图所示，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是____________.
5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD.
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和数量关系？说明你的理由；
（2）如果△ABC的面积为5cm2，求四边形ABDE的面积.
知识点二 中心对称作图
6.如图所示，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B＇C′D＇，使四边形A′B＇C′D＇和四边形ABCD关于点O成中心对称.（只保留作图痕迹，不要求写出作法）
7.如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和格点O.
（1）平移△ABC，使得点A与点O重合，画出平移后的△A′B＇C＇；
（2）画出△DEF，使它与△ABC关于点O成中心对称；
（3）判断△A＇B＇C′与△DEF是否成中心对称.
知识点三 中心对称图形的概念
8.下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
知识点四 中心对称图形的性质
9.下图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，AB＝2，则BB的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图所示，直线a、b垂直相交于点O，曲线C是中心对称图形，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为__________.
巩固提高全练
11.下列图形中，是中心对称图形的为（ ）
12.如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（01），（-1，0）.一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；……，照此规律重复下去，则点P2020的坐标为___________.
13.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度按要求作图：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）设P（a，b）为△ABC的边上一点，在△A2B2C2中与点P对应的点是P1，则点P1的坐标为___________.
14.古钱币是我国悠久的历史文化遗产，下图是从《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
15.下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
16.如图所示，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（-1，1），C（3，1）.△A′B′C′是△ABC关于x轴的对称图形，将△A′B＇C′绕点B′逆时针旋转180°，点A′的对应点为M，则点M的坐标为__________.
17.如图所示，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后所得的三角形.
18.如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，……，依次类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2020的坐标为（ ）
A.（4039，-1） B.（4039，1） C.（2020，-1） D.（2020，1）
19.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:
在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD长的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:如图①，延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
【感悟】解题时，若条件中出现“中点”“中线”字样，则可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中在同一个三角形中.
解决问题:
如图②，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
（1）求证:BE＋CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探究线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明.
参考答案
1.D 2.D 3.A 4.
5.解析（1）AE与BD平行且相等理由如下:
∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，∴AC＝CD，CE＝BC，
又∵∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，
∴AE∥BD.∴AE与BD平行且相等.
（2）∵BC＝CE，∴S△ABC＝S△ACE，S△BCD＝S△CED,
又∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB,∴S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△ACE,
∵△ABC的面积为5cm2，∴四边形ABDE的面积＝4×5＝20cm2.
6.解析 如图所示.
7.解析 （1）如图，△A＇B＇C′即为所求作的图形.
（2）如图，△DEF即为所求作的图形.
（3）△A′B＇C′与△DEF成中心对称.
8.A 9.D 10. 6 11.C 12.（2,2）
13.解析（1）如图，△A1B1C1即为所求作的图形.
（2）如图，△A2B2C2即为所求作的图形.
（3）点P1的坐标为（b，-a）.
14.D 15.A 16.（-2，1）
17.解析（1）如图所示，△DCE为所求作的三角形.（答案不唯一）
（2）如图所示，△ACD为所求作的三角形.（答案不唯一）
（3）如图所示，△ECD为所求作的三角形.
18.A
19.解析（1）证明:如图，延长FD到G，使DG＝DF，连接BG、EG（或把△CFD绕点D旋转180°得到△BGD），
∵DE⊥GF，∴EF＝EG.
易知CF＝BG，在△BEG中，BE＋BG＞EG，即BE＋CF＞EF.
（2）BE2＋CF2＝EF2.
证明: ∵∠A＝90°，∴∠EBC＋∠FCB＝90°，
又∵∠FCD＝∠DBG，∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2＋BC2＝EC2，
又∵EF＝EG，BG＝FC，∴BE2＋CF2＝EF2.
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