人教版八年级数学下册17.1 《勾股定理》一课一练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册17.1 《勾股定理》一课一练（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 661.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-17 21:08:17 | ||
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文档简介
17.1
《勾股定理》习题1
一、选择题
1．下列各组数是勾股数的是(
)
A．0.3，0.4，0.5
B．7，8，9
C．6，8，10
D．，，
2．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(
)
A．
B．
C．
D．
3．在中，，且，若，那么的值是(
)
A．1
B．5
C．
D．
4．如图，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．设AB长是m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可以用数轴上的一个点来表示；③m是13的算术平方根；④2＜m＜3．其中所有正确说法的序号是( )
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为(
)
A．
B．
C．
D．
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为(???
)
A．20
B．24
C．30
D．40
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为( )
A．
B．
C．﹣1
D．
8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC沿直线BC向右平移，得到△EDF，连接AD，若四边形ACFD为菱形，EC=4，则平移的距离为(
)
A．4
B．5
C．6
D．8
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意可列方程(
)
A．
B．
C．
D．
10．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点、的坐标分别为、．若是等边三角形，则点的坐标为(
)
A．
B．
C．
D．
11．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为(
)．
A．12
B．10
C．6
D．15
12．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为(
)
A．
B．
C．
D．
13．如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为(
)
A．12.5
B．13
C．14
D．15
14．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则(
)
A．86
B．64
C．54
D．48
二、填空题
15.在中，，则△ABC的面积为_______．
16．若点A(x，5)与B(2，5)的距离为3，则x＝__________．
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______．
18．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
三、解答题
19．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
20．正方形网格的每个小正方形的边长为1，格点中，、、三边的长分别为、、．
(1)在数轴上画出，这两个点；
(2)请在正方形网格中画出格点；
(3)这个三角形的面积为_________．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．
(1)作AC的垂直平分线，交BC于点P；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求BP的长．
22．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
(1)学校是否会受到影响？请说明理由．
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
23．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为
；
(3)△ABC的面积为
；
(4)若Q为x轴上一点，连接AQ、BQ，则△ABQ周长的最小值为
．
24．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，CD＝6，E为AB边上的点．
(1)连接CE，DE，CE⊥DE．
①如图1，若AE＝BC，求证：AD＝BE；
②如图2，若AE＝BE，求证：CE平分∠BCD；
(2)如图3，F是∠BCD的平分线CE上的点，连结BF，DF，BF＝DF＝，求CF的长．
25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案(阴影部分)的面积为______．
26．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片(，，)并进行探究：
(1)如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处
①若，，则的度数为
．
②，，之间的数量关系为
．
(2)如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
(3)如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．
答案
一、选择题
1．C．2．D．3.C．4．C．5．C．6．C．7．B．
8．C．9．A．10．A．11．C．12．B．13．C．14．C
二、填空题
15．84
16．5或-1
17．19
18．5
三、解答题
19．解：由题意可得：AB=3，AD=5
∴在Rt△ABD中，
设AC=CD=x，则BC=4-x
在Rt△ABC中，，解得：x=
∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米
20．
解：(1)在数轴上1的位置向上垂直画一条长度为1的线段，接原点和另一端点，边长就是，然后用圆规，以原点为圆心，斜边为半径做圆，交数轴于一点，该点表示的数即为；
-1，两个点的位置见数轴：
(2)如图，△ABC为所作，
(3)△ABC的面积，
故答案为：．
21．(1)画图所示：
(2)∵点在的垂直平分线上，
∴，
设，则，
在中，
解得：
∴．
22．
解：(1)学校受到噪音影响．理由如下：
作于B，如图，
，，
，
而，
消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
(2)以点A为圆心，100m为半径作交MN于C、D，如图，
，
在中，，，
，
同理，
，
拖拉机的速度，
拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为：(秒)，
学校受影响的时间为32秒．
23．
(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为(3，2)；
故答案为：(3，2)；
(3)△ABC的面积为：4×7-×2×3-×1×7-×4×5=；
故答案为：；
(4)由图可得，AB=，
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于Q，则AQ+BQ的最小值为A'B的长，
又∵A'B=，
∴△ABQ周长的最小值为，
故答案为：；
24．解：(1)①
在与中，
②如图，延长交的延长线于
在与中，
平分
(2)如图，过作于
作于
平分
25．(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么)；
②图1：大正方形的面积为，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
则；
图2：大正方形的面积为，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
则，
即；
图3：直角梯形的面积为，
三个直角三角形的面积之和为，
则，
即；
(2)设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为，
由圆的面积公式得：，
，
，
由勾股定理得：，
则，
即，
故答案为：；
(3)设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，
由(2)可知，，
则阴影部分的面积为，
，
，
故答案为：．
26．解：(1)①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
(2)∵，，
设BD=x，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中，，解得：
∴BD的长为
(3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=(8-x)2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
《勾股定理》习题1
一、选择题
1．下列各组数是勾股数的是(
)
A．0.3，0.4，0.5
B．7，8，9
C．6，8，10
D．，，
2．如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是(
)
A．
B．
C．
D．
3．在中，，且，若，那么的值是(
)
A．1
B．5
C．
D．
4．如图，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．设AB长是m，下列关于m的四种说法：①m是无理数；②m可以用数轴上的一个点来表示；③m是13的算术平方根；④2＜m＜3．其中所有正确说法的序号是( )
A．①②
B．①③
C．①②③
D．②③④
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为(
)
A．
B．
C．
D．
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为(???
)
A．20
B．24
C．30
D．40
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，在BA上截取BD＝BC，再在AC上截取AE＝AD，则的值为( )
A．
B．
C．﹣1
D．
8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC沿直线BC向右平移，得到△EDF，连接AD，若四边形ACFD为菱形，EC=4，则平移的距离为(
)
A．4
B．5
C．6
D．8
9．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意可列方程(
)
A．
B．
C．
D．
10．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点、的坐标分别为、．若是等边三角形，则点的坐标为(
)
A．
B．
C．
D．
11．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，便点与点重合，折痕为，则的面积为(
)．
A．12
B．10
C．6
D．15
12．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为(
)
A．
B．
C．
D．
13．如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为(
)
A．12.5
B．13
C．14
D．15
14．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，则(
)
A．86
B．64
C．54
D．48
二、填空题
15.在中，，则△ABC的面积为_______．
16．若点A(x，5)与B(2，5)的距离为3，则x＝__________．
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______．
18．如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
三、解答题
19．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
20．正方形网格的每个小正方形的边长为1，格点中，、、三边的长分别为、、．
(1)在数轴上画出，这两个点；
(2)请在正方形网格中画出格点；
(3)这个三角形的面积为_________．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．
(1)作AC的垂直平分线，交BC于点P；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求BP的长．
22．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且，在A处有一所中学，米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
(1)学校是否会受到影响？请说明理由．
(2)如果受到影响，则影响时间是多长？
23．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
(2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为
；
(3)△ABC的面积为
；
(4)若Q为x轴上一点，连接AQ、BQ，则△ABQ周长的最小值为
．
24．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，CD＝6，E为AB边上的点．
(1)连接CE，DE，CE⊥DE．
①如图1，若AE＝BC，求证：AD＝BE；
②如图2，若AE＝BE，求证：CE平分∠BCD；
(2)如图3，F是∠BCD的平分线CE上的点，连结BF，DF，BF＝DF＝，求CF的长．
25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案(阴影部分)的面积为______．
26．综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的纸片(，，)并进行探究：
(1)如图2，“奋斗”小组将纸片沿DE折叠，使点C落在外部的处
①若，，则的度数为
．
②，，之间的数量关系为
．
(2)如图3，“勤奋”小组将沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
(3)如图4，“雄鹰”小组将沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当为直角三角形时，求BD的长．
答案
一、选择题
1．C．2．D．3.C．4．C．5．C．6．C．7．B．
8．C．9．A．10．A．11．C．12．B．13．C．14．C
二、填空题
15．84
16．5或-1
17．19
18．5
三、解答题
19．解：由题意可得：AB=3，AD=5
∴在Rt△ABD中，
设AC=CD=x，则BC=4-x
在Rt△ABC中，，解得：x=
∴物品中转站与车站之间的距离CD的长为千米
20．
解：(1)在数轴上1的位置向上垂直画一条长度为1的线段，接原点和另一端点，边长就是，然后用圆规，以原点为圆心，斜边为半径做圆，交数轴于一点，该点表示的数即为；
-1，两个点的位置见数轴：
(2)如图，△ABC为所作，
(3)△ABC的面积，
故答案为：．
21．(1)画图所示：
(2)∵点在的垂直平分线上，
∴，
设，则，
在中，
解得：
∴．
22．
解：(1)学校受到噪音影响．理由如下：
作于B，如图，
，，
，
而，
消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
(2)以点A为圆心，100m为半径作交MN于C、D，如图，
，
在中，，，
，
同理，
，
拖拉机的速度，
拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间为：(秒)，
学校受影响的时间为32秒．
23．
(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点A2的坐标为(3，2)；
故答案为：(3，2)；
(3)△ABC的面积为：4×7-×2×3-×1×7-×4×5=；
故答案为：；
(4)由图可得，AB=，
作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于Q，则AQ+BQ的最小值为A'B的长，
又∵A'B=，
∴△ABQ周长的最小值为，
故答案为：；
24．解：(1)①
在与中，
②如图，延长交的延长线于
在与中，
平分
(2)如图，过作于
作于
平分
25．(1)①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么)；
②图1：大正方形的面积为，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
则；
图2：大正方形的面积为，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
则，
即；
图3：直角梯形的面积为，
三个直角三角形的面积之和为，
则，
即；
(2)设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为，
由圆的面积公式得：，
，
，
由勾股定理得：，
则，
即，
故答案为：；
(3)设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，
由(2)可知，，
则阴影部分的面积为，
，
，
故答案为：．
26．解：(1)①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
(2)∵，，
设BD=x，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中，，解得：
∴BD的长为
(3)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC==10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=(8-x)2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．