人教版八年级数学下册17.1 《勾股定理》一课一练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册17.1 《勾股定理》一课一练（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 654.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-17 21:10:03 | ||
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文档简介
17.1《勾股定理》习题2
一、选择题
1．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边，在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是(
)
A．
B．
C．
D．
2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则(
)．
A．
B．
C．
D．
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则小正方形的面积为(
)．
A．
B．2
C．4
D．
4．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为(
)
A．25
B．19
C．13
D．169
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边()，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是( )
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为( )
A．8
B．6
C．4
D．3
7．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)2的值为(
)
A．144
B．22
C．16
D．13
二、填空题
1．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”
．如图，设4，小正方形的面积是9，则弦长为_______．
2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为___________．
3.如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果，且．那么AH等于________．
4.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱
5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ(θ=30°)．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1
cm，则地毯的面积至少需要______平方米．
三、解答题
1.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m(绳子下端与旗杆根部的距离)，请你帮小明计算旗杆的高．
2.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？
3.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
4.如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
5.是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
6.如图，车高货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量求弯折点与地面的距离.
7.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处(BC⊥AC)，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？
8.在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．
(1)如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
(2)如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
(3)如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
9.如图，中，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点处．
若，求的面积；
求证：．
10.已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．
(1)依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；
(2)当且时，求的度数；
(3)如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
11.如图①，在等腰中，，，CD平分交AB于点D．点P为线段CD上一点(不与端点C．D重合)．、PB与BC的延长线交于点E，与AC交于点F，连接AE、AP、BP．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)探究线段BC．PD之间的数量关系，并证明．
12.在ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
(1)若∠BAC＝48°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB＝∠ACF；
(3)求证：EF2＋BF2＝2AC2．
答案
一、选择题
1．B．2．A．3．C．4．A.5．D．6．C．7．B．
二、填空题
8．
2.49
3.6
4.680
5.3+
三、解答题
1.解：如图，表示旗杆，表示拉展的绳子，设的长是m，则的长是m，
在中
，
∴
整理得：
解得：
答：旗杆的高是12m．
2.设旗杆的高度为x米，则绳子长为(x+2)米，
由勾股定理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为8米；
3.由题意可得：BD=10m，BC=6m，
设AD=xm，则有：AC=m，
在Rt△ABC中，，
即，
解得：，
故AB=m，
答：树高AB为m．
4.解：如下图所示
由题意可知：OA=，OB=，OD=
∴AB==
∴旗杆的长为OA＋AB=24m
设OC=xm，则CD=(24－x)m
∵
∴
解得：
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
5.解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+42＝(10﹣x)2，
解得：x＝，
答：AC的长为．
6.解：设弯折点B与地面的距离BC=，则.
在中，由勾股定理得，
解得=1.6.
答：弯折点B与地面的距离为1.6米.
7.解：根据题意，得，
在Rt△ACB中，根据勾股定理可得：
小汽车2秒行驶米，
则1小时行驶，
即小汽车行驶速度为千米/时，因为＞，
所以小汽车超速行驶，超速(千米/时)．
8.解：(1)猜想：
，
证明：如图2，过点作于点，设，则，
在Rt中，有,
在Rt中，有
，
∴
，
解之：，
∵均为正数，∴
；
(2)猜想：
证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则，
在Rt中，有，
在Rt中，有
，
∴，
解之：，
∵均为正数，∴
；
(3)如图4，连接．
在Rt中，有，
∴，
∵，∴
，
过点作于点E，
设，则EC=100-x，
在Rt中，有，即，
在Rt中，有，即
，
∴，
解之：，
在Rt中，有，
∴DE=(取正)，
∴DE=，
∴，
=，
=(米2)，
∴四边形ABCD的面积是米2．
9.(1)解：是边上的高，
在中，
在中，
(平方单位)．
(2)证明：沿所在的直线翻折得到
在中，由勾股定理，得
在中，由勾股定理，得，
．
10.解：(1)补全示意图如图所示
连接AE，设AP与BE交于点M，如图：
由轴对称的性质得
AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，
∵是等腰直角三角形
∴AB=AC
∴AE=AC
∴
(2)当时，如图：
由(1)得，，
在中
∴
∴
∴
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴
∴
当时，如图：
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴
∴
∵AE=AB=AC
∴
∴即
在与中
，
∴
∴
由上可知，的度数为或
(3)，理由如下：
由(2)得：
FE=FB，
∴
∴
∵在中
∴
11.(1)∵，，CD平分，
∴，，
，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，∴．
又∵，∴是等腰直角三角形，
∴．
(3)(或)
如图，过点B作的延长线于点H，
∵，∴，
∵，
∴，，
∴．
又∵，，
∴，∴，
∵，，
∴，∴．
在中，，
∴(或)．
12.(1)解：∵AB＝AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAC＝48°，∠EAC＝90°，
∴∠BAE＝48°＋90°＝138°，
∴∠AEB＝(180°?138°)÷2＝21°；
(2)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAF＝∠CAF．
在△BAF和△CAF中，
AF＝AF，∠BAF＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BAF≌△CAF(SAS)，
∴∠ABF＝∠ACF，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠ACF；
(3)证明：∵△BAF≌△CAF，
∴BF＝CF，
∵∠AEB＝∠ACF，∠AGE＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠EAG＝90°，
∴EF2＋BF2＝EF2＋CF2＝EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴EC2＝AC2＋AE2＝2AC2，
即EF2＋BF2＝2AC2．
一、选择题
1．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边，在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是(
)
A．
B．
C．
D．
2．已知中，，，的对边分别为、、，若，则(
)．
A．
B．
C．
D．
3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm，则小正方形的面积为(
)．
A．
B．2
C．4
D．
4．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为(
)
A．25
B．19
C．13
D．169
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用、表示直角三角形的两直角边()，下列四个说法：①，②，③，④．其中说法正确的是( )
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为( )
A．8
B．6
C．4
D．3
7．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)2的值为(
)
A．144
B．22
C．16
D．13
二、填空题
1．公园3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”
．如图，设4，小正方形的面积是9，则弦长为_______．
2.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为___________．
3.如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果，且．那么AH等于________．
4.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱
5.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，AB，AC的夹角为θ(θ=30°)．要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=cm，楼梯宽1
cm，则地毯的面积至少需要______平方米．
三、解答题
1.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m(绳子下端与旗杆根部的距离)，请你帮小明计算旗杆的高．
2.如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？
3.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
4.如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
5.是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．
6.如图，车高货车卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量求弯折点与地面的距离.
7.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处(BC⊥AC)，测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？
8.在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有．
(1)如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
(2)如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
(3)如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
9.如图，中，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点处．
若，求的面积；
求证：．
10.已知，等腰，，在直角边的左侧直线，点关于直线的对称点为，连接，，其中交直线于点．
(1)依题意，在图1中补全示意图：当时，求的度数；
(2)当且时，求的度数；
(3)如图2，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
11.如图①，在等腰中，，，CD平分交AB于点D．点P为线段CD上一点(不与端点C．D重合)．、PB与BC的延长线交于点E，与AC交于点F，连接AE、AP、BP．
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)探究线段BC．PD之间的数量关系，并证明．
12.在ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
(1)若∠BAC＝48°，求∠AEB的度数；
(2)求证：∠AEB＝∠ACF；
(3)求证：EF2＋BF2＝2AC2．
答案
一、选择题
1．B．2．A．3．C．4．A.5．D．6．C．7．B．
二、填空题
8．
2.49
3.6
4.680
5.3+
三、解答题
1.解：如图，表示旗杆，表示拉展的绳子，设的长是m，则的长是m，
在中
，
∴
整理得：
解得：
答：旗杆的高是12m．
2.设旗杆的高度为x米，则绳子长为(x+2)米，
由勾股定理得：，
解得：，
答：旗杆的高度为8米；
3.由题意可得：BD=10m，BC=6m，
设AD=xm，则有：AC=m，
在Rt△ABC中，，
即，
解得：，
故AB=m，
答：树高AB为m．
4.解：如下图所示
由题意可知：OA=，OB=，OD=
∴AB==
∴旗杆的长为OA＋AB=24m
设OC=xm，则CD=(24－x)m
∵
∴
解得：
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
5.解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+AB＝10，BC＝4，
设AC＝x，则AB＝10﹣x，
∴x2+42＝(10﹣x)2，
解得：x＝，
答：AC的长为．
6.解：设弯折点B与地面的距离BC=，则.
在中，由勾股定理得，
解得=1.6.
答：弯折点B与地面的距离为1.6米.
7.解：根据题意，得，
在Rt△ACB中，根据勾股定理可得：
小汽车2秒行驶米，
则1小时行驶，
即小汽车行驶速度为千米/时，因为＞，
所以小汽车超速行驶，超速(千米/时)．
8.解：(1)猜想：
，
证明：如图2，过点作于点，设，则，
在Rt中，有,
在Rt中，有
，
∴
，
解之：，
∵均为正数，∴
；
(2)猜想：
证明：如图3，过点作，交的延长线于点，设，则，
在Rt中，有，
在Rt中，有
，
∴，
解之：，
∵均为正数，∴
；
(3)如图4，连接．
在Rt中，有，
∴，
∵，∴
，
过点作于点E，
设，则EC=100-x，
在Rt中，有，即，
在Rt中，有，即
，
∴，
解之：，
在Rt中，有，
∴DE=(取正)，
∴DE=，
∴，
=，
=(米2)，
∴四边形ABCD的面积是米2．
9.(1)解：是边上的高，
在中，
在中，
(平方单位)．
(2)证明：沿所在的直线翻折得到
在中，由勾股定理，得
在中，由勾股定理，得，
．
10.解：(1)补全示意图如图所示
连接AE，设AP与BE交于点M，如图：
由轴对称的性质得
AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，
∵是等腰直角三角形
∴AB=AC
∴AE=AC
∴
(2)当时，如图：
由(1)得，，
在中
∴
∴
∴
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴
∴
当时，如图：
∵AE=AB，AF=AF，FE=FB
∴
∴
∵AE=AB=AC
∴
∴即
在与中
，
∴
∴
由上可知，的度数为或
(3)，理由如下：
由(2)得：
FE=FB，
∴
∴
∵在中
∴
11.(1)∵，，CD平分，
∴，，
，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴．
(2)∵，
∴，
∴，∴．
又∵，∴是等腰直角三角形，
∴．
(3)(或)
如图，过点B作的延长线于点H，
∵，∴，
∵，
∴，，
∴．
又∵，，
∴，∴，
∵，，
∴，∴．
在中，，
∴(或)．
12.(1)解：∵AB＝AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠BAC＝48°，∠EAC＝90°，
∴∠BAE＝48°＋90°＝138°，
∴∠AEB＝(180°?138°)÷2＝21°；
(2)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAF＝∠CAF．
在△BAF和△CAF中，
AF＝AF，∠BAF＝∠CAF，AB＝AC，
∴△BAF≌△CAF(SAS)，
∴∠ABF＝∠ACF，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠ACF；
(3)证明：∵△BAF≌△CAF，
∴BF＝CF，
∵∠AEB＝∠ACF，∠AGE＝∠FGC，
∴∠CFG＝∠EAG＝90°，
∴EF2＋BF2＝EF2＋CF2＝EC2，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴EC2＝AC2＋AE2＝2AC2，
即EF2＋BF2＝2AC2．