人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形一课一练习题1（Word版，含答案）

18.2《特殊的平行四边形》习题1
一、选择题
1．如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是(
)
A．矩形
B．平行四边形
C．菱形
D．正方形
3．下列说法正确的是(
)
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
4．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为(
)
A．9
B．8
C．
D．
5．在菱形ABCD中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=(
)
A．
B．2
C．3
D．4
6．如图，矩形的对角线，相交于点，，若的周长比的周长大10，则的长为(
)．
A．
B．
C．10
D．20
7．如图，在正方形内有一个四边形，，且，，则图中阴影分的面积为(
)
A．100
B．104
C．152
D．304
8．如图，的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD．已知图甲中，，，图乙中
，则图2中正方形的对角线AC长为(　　　)
A．
B．
C．
D．
10．如图，在中，D，E分别是的中点，，F是的上任意一点，连接，，若，则的长度为(
)
A．4
B．5
C．8
D．10
11．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为(　　)
A．1s
B．s
C．s
D．2s
12．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点(不与点A，B重合)，作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是(　　)
A．1.2
B．1.5
C．2.4
D．2.5
14．如图，已知正方形的边长为1，延长到，使得，延长到，使得，以同样的方式得到，连接，得到第2个正方形，再以同样方式得到第3个正方形，……，则第2020个正方形的边长为(
)
A．2020
B．
C．
D．
二、填空题
15．一个三角形的三边长分别为
6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为_____．
16．菱形有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线长为_________．
17．如图，直线过正方形的顶点，点、到直线的距离分别为、，则正方形的边长为_______．
18．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点(点O与端点B，D不重合)，OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为_____．
三、解答题
19．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是等边三角形，，求的面积．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC，
(1)求证：CF=EF；
(2)求∠EFB的度数．
21．如图，的对角线，相交于点，，是上的两点，并且，连接，．
(1)求证：；
(2)若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
22．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
(1)求证：MC＝MD：
(2)若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t＝3时，PB＝　
　cm．
(2)当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)四边形PBQD能否成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
24．如图一，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC，BD相交于O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(所需图形须在备用图中画出)
(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(2)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(3)在旋转过程中，当EF⊥BD，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O顺时针旋转的度数．
25．已知正方形的边长为4，E是上一个动点，以点E为直角顶点，在正方形外侧等腰直角三角形，连结、、．
(1)与的位置关系是__________．
(2)①如图1，当(即点E与点D重合)时，的面积为_________．
②如图2，当(即点E为的中点)时，的面积为________．
③如图3，当时，的面积为_______．
(3)如图4，根据上述计算的结果，当E是上任意一点时，请提出你对面积与正方形的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
26．在中，．点在直线上，以为边作矩形，直线与直线的交点分别为．
(1)如图，点在线段上，四边形是正方形．
①若点为中点，求的长．
②若，求的长．
(2)已知，是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．
答案
一、选择题
1．C．2．A．3．B．4．D．5．D．6．A．7．B．
8．C.9．D．10．C．11．C．12．C.13．A．14．B．
二、填空题
15．5
16．或2
17．
18．1.
三、解答题
19．解：因为平行四边形，∴，，
又∵三角形是等边三角形
，
∴，
∴
∴平行四边形是矩形
∴°
在中，
由勾股定理得
∴
∴S?ABCD=AB?BC=4×4=16
20．
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵CE⊥AB，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF，即F是BC的中点，
∴Rt△BCE中，EF=BC=CF；
(2)由(1)得：△ACE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ACE=45°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°，
∵CF=EF，
∴∠CEF=∠BCE=22.5°，
∵∠EFB是△CEF的外角，
∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°．
21．(1)证明：四边形是平行四边形，
，．
又，，即，
在和中，，
∴．
(2)四边形是矩形，理由如下：
，相交于点，，，
四边形是平行四边形．
又，
四边形是矩形．
22．
(1)证明：由已知可得：
∴MC=MD；
(2)∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC=60°,
∴∠AMD+∠BMC=180°-60°=120°，
与(1)同理有：MA=MD，MC=MB，
∴∠MAD=∠MDA，∠MCB=∠MBC，
∴2(∠MDA+∠MCB)=360°-(∠AMD+∠BMC)=360°-120°=240°，
∴∠MDA+∠MCB=120°，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠MDB+∠MCA=(∠ADB+∠BCA)-(∠MDA+∠MCB)=180°-120°=60°，
∴∠BDC+∠ACD=(∠MDC+∠MCD)-(∠MDB+∠MCA)=120°-60°=60°，
∴∠AOB=∠DOC=180°-(∠BDC+∠ACD)=180°-60°=120°
．
23．
解：(1)当t＝3时，则AP＝3×1＝3cm，
∴PB＝AB﹣AP＝18﹣3＝15cm，
故答案为：15．
(2)若四边形PBCQ是平行四边形，
∴PB＝CQ，
∴18﹣t＝2t，
∴t＝6，
若四边形PQDA是平行四边形，
∴AP＝DQ，
∴t＝23﹣2t，
∴t＝，
综上所述：t＝6或；
(3)如图，
若四边形PBQD是菱形，
∴BP＝DP，
∵，
∴，
∴AP＝5，
∴t＝＝5，
∴当t＝5时，四边形PBQD为菱形．
24．
解：(1)如图一
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=EC，
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
(2)如备用图一：
证明：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°．
∵∠AOF=90°，
∴∠BAC=∠AOF，
∴AB∥EF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
(3)如备用图二：
在Rt△ABC中，
AC==2．
∵AO=OC，
∴AO=1=AB．
∵∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=45°，
即AC绕点O顺时针旋转45°．
25．
解：(1)正方形，等腰直角三角形，
，
，
即、、三点共线，
，，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：平行．
(2)①的面积是，
故答案为：8．
②的面积是：
，
故答案为：8．
③与②求法类似：的面积是
，
故答案为：8．
(3)面积与正方形的面积之间关系是S正方形ABCD．
证明：，
S正方形ABCD，
∴S正方形ABCD．
26．
解：(1)①在正方形ACDE中，AC=DE=12，AE∥BC，
∵点G为DE中点，
∴DG=GE=6，
在Rt△AEG中，AG==，
∵AE∥BC，
∴∠AEG=∠BDG，又EG=CG，∠AGE=∠BGD，
∴△AEG≌△BDG(ASA)，
∴BG=AG=；
②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，
∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF(SAS)，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+(x+90°)+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴AB=24，
∴在Rt△ABC中，BC==；
(2)当FC=FB时，
点B、点D和点G重合，
此时CD=BC=9；
当CB=CF时，
即CF=9，
∵四边形ACDE是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠CBF=∠BAE，
∵BC=CF，
∴∠CFB=∠CBF=∠AFE，
∴∠BAE=∠AFE，
∴AE=EF，
设AE=EF=x，则CE=x+9，
在△ACE中，
，
解得：x=，
即CD=AE=；
当BC=BF时，
即BF=9，
∵AB==15，
∴AF=AB-BF=6，
∵四边形ACDE是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠BCF=∠AEC，
∵BC=BF，
∴∠BCF=∠BFC=∠AFE，
∴∠AFE=∠AEC，
∴AE=AF=CD=6；
综上：CD的长为6或9或．