人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形一课一练习题3（Word版，含答案）

18.2《特殊的平行四边形》习题3
一、选择题
1．如图，在中，点D在边BC上，过点D作，，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是(
)
A．四边形是平行四边形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
2．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是(
)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
3．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，的对角线相交于点O，过点O作垂直于交，分别于点F，E，连接．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小美：；小丽：四边形是菱形；小聪：；小明：．这四位同学写出的结论中不正确的是(
)
A．小美
B．小丽
C．小聪
D．小明
4．用直尺和圆规作一个以线段为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形是菱形的依据是(
)
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
5.已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(
)
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是正方形
6.如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是(
)
A．若，则平行四边形ABCD是矩形
B．若，则平行四边形ABCD是正方形
C．若，则平行四边形ABCD是矩形
D．若，则平行四边形ABCD是正方形
7.如图，正方形的对角线相交于点，正方形与的边长均为，与相交于点，与相交于点，且满足，则两个正方形重合部分的面积为(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1.已知菱形的面积为96，两条对角线之比为3∶4，则菱形的周长为__________．
2.菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm2．
3.菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为__________．
4.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是_____．
5.如图，正方形中，点在边上，点在边上，若，，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的序号有_____．
三、解答题
1.如图，已知在中，是斜边上的中线，点是边延长线上一点，连结过点作于点，且．
(1)求证：．
(2)若，求的面积．
2.如图，在矩形中，，分别是线段上的点，且四边形也为矩形．
(1)直接写出的长：____________；
(2)若是以为腰的等腰三角形时，求的长；
(3)求证：．
3.如图，已知点是的边延长线上的一点；连接，，且；过点作，交的延长线于点，连接；求证：
4.如图，在ABC中，D是AB的中点，AC＝2，BC＝2，AB＝2，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．
(1)求证：∠ACB＝90°；
(2)求线段BE的长度．
5.已知，如图，在等腰直角三角形中，，是的中点，点，分别是，上的动点，且始终满足，
(1)证明：；
(2)求的大小；
(3)写出四边形的面积与三角形的面积的关系式，并说明理由．
6.如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，若，点N为上一点，，求证：；
(3)如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．
7.如图，是菱形的对角线．
(1)请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；(不要求写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接，若，求的度数．
8.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A、B重合)，分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为D、E，M为斜边AB的中点(备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
(1)如图1，当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是　　　　，MD与ME的数量关系是　　　　．
(2)如图2，当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请说明理由．
9.已知：如图，在梯形中，平分，若以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，联结、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若点是的中点，请判断线段和的位置关系，并证明你的结论．
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接AE，CF．
(1)求证：；
(2)连接AF，CE，当BD平分时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
11.综合与实践：
问题情境：
数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：
第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，这时对角线和互相重合．
第二步：固定矩形，将矩形绕的中点逆时针方向旋转，直到点与点重合时停止．
问题解决：
(1)奋进小组发现：在旋转过程中，当边与交于点，边与交于点，如图2、图3所示，请写出线段与始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．
(2)奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图3所示，请你猜测四边形的形状，并试着证明你的猜想．
探索发现：
(3)奋进小组还发现在问题(2)中的四边形中与旋转角存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．
13.已知：如图，在梯形中，∥，点、在边上，∥，∥，且四边形是平行四边形．
(1)试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)现有三个论断：
①；
②90°；
③．
请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形．
14.下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形，且
求作：菱形，使点在上，点在上．
作法：①作的角平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接．
则四边形为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)求证四边形为菱形．
15.如图，已知点在的边上，交于，交于．
(1)求证：；
(2)若平分，试判断四边形的形状，并说明理由．
16.如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若平分，，求的长．
17.如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．
(1)求证：四边形BFDE是菱形；
(2)若AE＝OF，求∠BDC的度数．
18.已知：如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且是的中点，联结，交边于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，求证：四边形是正方形．
19.如图，CD是线段AB的垂直平分线，M是AC延长线上一点．
(1)在图中补充完整以下作图，保留作图痕迹：作∠BCM的角平分线CN，过点B作CN的垂线，垂足为E；
(2)求证：四边形BECD是矩形；
(3)AB与AC满足怎样的数量关系时，四边形BECD是正方形？证明你的结论．
20.已知：如图，在正方形中，点为边的中点，连结，点在上，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)联结，求证：．
21.如图，正方形中，点分别在边上，且，连接相交于点，作，垂足是．
(1)求证：；
(2)求证：．
22.如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长．
23.如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．
(1)求证：；
(2)若点在上，且，判断线段之间的数量关系，并说明理由．
答案
一、选择题
1．C．2．C．3．D．4．B．5.D.6.C．7.B．
二、填空题
1.：40cm．
2.24
3.
4.20°
5.①②③④
三、解答题
1.证明:是斜边上的中线
∴在△CEF和△CDE中，
∴△CEF≌△CDE(SAS)
．
由知:，
.
过作于
，
，
的面积为:
．
2.(1)在中，，
故答案为：10；
(2)在矩形ABCD中，若是以为腰的等腰三角形时，
①当CP=DC时
AP=AC-CP=10-6=4
②当CP=DP时
综上所述，AP=4或AP=5；
(3)连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC
在矩形ABCD中，
在矩形PEFD中，PF=DE，
．
3.证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵
∴四边形是平行四边形；
∴，即；
又于点；∴∠EFC=90°
∴在中，点是斜边的中点
∴．
4.证明：(1)∵在△ABC中，AC＝2，BC＝2，AB＝2，
∴AC2＝4，BC2＝8，AB2＝12，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°；
(2)由(1)知，∠ACB＝90°，则∠BCE＝90°．
∵D是AB的中点，AB＝2，CE＝CD，
∴CE＝CD＝AB＝．
∴在直角△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．
5.解：(1)证明：连接，如图所示：
∵等腰直角三角形中，，是的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
(2)，
∴，
∴，
即；
(3)结论：
∵，
∴，
∴，
即．
6.解：(1)∵，，
∴BC=2AB=4，，
∵
∴，
∴BD=AB=1，
∴=BC-BD=4-1=3；
(2)证明：如图2，在BD上截取DF=EN，
∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，
∴AD=AE，，，
∵，
∴，
∴，
∴AN=AF，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵AN=AF，
∴，
∴，即F是BC的中点，
∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，
∵AN=AF，
∴；
(3)解：由题意可得AD=AE，，
∴，
分三种情况：
①AM=MD时，
∵AM=MD，
∴，
∴，
∵，
∴；
②AM=AD时，
∵AM=AD，
∴，
∵，
∴；
③AD=MD时，
∵AD=MD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴当为等腰三角形时，的度数为或或．
7.(1)如图，EF为所作；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°，
∴∠ABC=150°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD-∠FBA=75°-30°=45°．
8.解：(1)如图，
为的中点，
即
故答案为：，
(2)如图，延长交于
由(1)得：，
为的中点，
(3)延长与交于点
同理可得：
9.(1)∵平分，
∴．
由题意，．
在△与△中，
．
∴△≌△．
∴．
∵四边形为梯形．
∴∥．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
(2)线段和的位置关系是垂直．
理由如下：
∵点是的中点，
∴．
∴．
∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∴∥．
∵四边形是菱形，
∴⊥．
∴⊥．
10.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠E=∠F；
(2)当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE=BF，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
11.(1)关系：
理由：如图：设分别与、相交于点、；
∵四边形与都是矩形，且点为对角线的中点；
∴，，，；
∴；
又
∴
∴，；
∴；
又，
∴；
又；
∴
∴
∴，
则
即
(2)四边形为菱形．
证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．
由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH
∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG
∴四边形QMRN为平行四边形，
∵QK⊥EF，QL⊥CD，
∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°
∴QK=QL，
又∵AB∥CD，EF∥HG，
∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，
∴∠KMQ=∠LNQ，
∴△QKM≌△QLN(AAS)
∴MQ=NQ
∴四边形为菱形．
(3)结论：∠MQN=∠AOE．
理由：如图中，
∵∠QND=∠1+∠2，
∠AOE=∠1+∠3，
又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，
∴∠2=∠3，
∴∠QND═∠AOE，
∵AB∥CD，
∴∠MQN=∠QND，
∴∠MQN=∠AOE．
12.解：(1)线段与的长度之间的数量为：．
证明：∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形．
∴．
同理可证，四边形是平行四边形．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
(2)选择论断②作为条件．
证明：∵∥，
∴．
∵，
∴．
即得．
又∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
13.解:如图所示．
证明:平分
在中，
又
四边形为平行四边形．
四边形为菱形．
14.(1)证明：∵DE∥AC，DF∥
AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF；
(2)若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠FAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
15.(1)证明：，为的中点，
．
，
四边形是平行四边形．
，，
，
则四边形是菱形；
(2)解：如答图所示，连接，
，平分，
．
．
，
，
在中，．
，，．
在中
，
，
．
．
16.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴
AD∥BC,AD=BC,
∴∠EDO=∠OBF,
∵EF垂直平分BD,
∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,
∴△DEO=△BFO(ASA)
∴OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
又EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形;
(2)∵四边形EBFD是菱形,
∴ED=EB
又
AE＝OF，∠A=∠BOF
∴△ABF≌△OBF
∴∠ABF=∠OBF,
∵∠FBO=∠OBF,
∴∠ABF
=∠FBO=∠OBF,
∴
∠OBF=30°
∴∠BDC=60°．
17.解：(1)如图，连接AC和BE，
∵，是的中点，
∴，
由等腰三角形“三线合一”的性质得，
∵∥，，
∴，
∴，
∴∥，
∵，
∴
四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵∥，
∴四边形是平行四边形；
(2)∵四边形是平行四边形，
∴∥，，
∵∥，，
∴∥，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
由，即得，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
18.(1)解：如图所示，
(2)证明：∵
CD是AB的垂直平分线，
∴
CD⊥BD，AD=BD，
∴
∠CDB=90°，AC=BC，
∴
∠DCB=∠ACB，
∵
CN平分∠BCM，
∴∠BCN=∠BCM，
∵∠ACB+∠BCM=180°，
∴∠DCN=∠DCB+∠BCN=(∠ACB+∠BCM)=90°，
∵
BE⊥CN，
∴
∠BEC=90°，
∴
四边形BECD是矩形；
(3)当AB=AC时，矩形BECD是正方形
∵
AD=BD，AB=AC，
∴
BD=AC，
∵
AD⊥CD，∠CDB=90°，
∴
BD=CD，
∴
矩形BECD是正方形．
19.证明：(1)四边形是正方形，
，
，
，
，
，即，
．
(2)如图，连结．
点、在线段的中垂线上，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，
，
，
点是边的中点，
点是边的中点，
，
，
，即．
20.(1)四边形是正方形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
；
(2)由(1)知，
，
，
又，
，
．
21.(1)证明：∵是正方形，
∴，且，
∵，
∴(SAS)；
(2)证明：由(1)知∠BAE＝∠CBF，
∵
∴，
∴∠AOB=90，
∴；
(3)∵，，
∴，
由(1)知，，且，
∴，
∴，
∴．
22.解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDA，
∴∠B=∠CDF，
在△CBE与△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF；
(2)GE=BE+GD，理由：
由(1)得△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，CE=CF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，
在△ECG与△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG(SAS)，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD．