人教版八年级数学下册18.1平行四边形一课一练习题3（Word版，含答案）

18.1《平行四边形》习题3
一、选择题
1.下列说法①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②平行四边形的对角线互相平分③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平行四边形的每组对边平行且相等；⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；属于平行四边形判定方法的有(
)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
2.如图，在中，D，F分别是，上的点，且．点E是射线上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形为平行四边形的是(
)
A．
B．
C．
D．
3.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(
)
A．AB=CD
B．BC=AD
C．∠A=∠C
D．BC∥AD
4.如图，在中，分别是的中点，点在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是(
)
A．
B．
C．
D．
5.如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为(
)
A．
B．
C．
D．
6.如图，是的边的中点平分．且，垂足为且，．，则的周长是(
)
A．24
B．25
C．26
D．28
7.如图，已知四边形中，、分别为、上的点，、分别为、的中点．当点在上从点向点移动而点不动时，那么下列结论成立的是(
)
A．线段的长逐渐增大
B．线段的长不变
C．线段的长逐渐减小
D．线段的长与点的位置有关
二、填空题
1.在四边形中，对角线相交于点，给出下列条件：①，；②，；③，；④，．其中能
够判定是平行四边形的有______．
2.在四边形中，∥，要使四边形是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．(只要填写一种情况)
3.如图，在
中，对角线AC、BD相交于点O，已知点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件_______________
，使得四边形AFCE是一个平行四边形．
4.如图，在四边形中，若，则添加一个条件________，能得到平行四边形(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)．
5.如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是___．
6.如图，点D、E分别是边AB、AC上的点，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，连接FG、GH、FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为____．
7.如图，在中，点分别在边上，且，连接，点分别是的中点，，则的度数是_______．
三、解答题
1.如图，中，、是直线上两点，且．
求证：(1)；
(2)．
2.已知：如图，中，、分别是和的角平分线，分别交边、于点、，求证：．
3.如图，点在内部，．
(1)求证：；
(2)求证：
4.如图，在中，平分交于点，交于点，平分交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证：．
5.如图，点、、、分别是的边、、、的中点．
求证：
6.证明题：如图，在?ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．
求证：∠BEF＝∠DFE．
7.如图，在中，，，、分别是其角平分线和中线，过点C作于点F，交于点G，连接，求线段的长．
8.已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，且AB=BE．
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．
9.如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求线段DE的长．
10.已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．
(1)求证：∥；
(2)过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．
11.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
12.已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
(1)求证：BD、EF互相平分；
(2)若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
13.在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC；
(2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式(不需要证明)；
(3)若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
14.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
(1)求证：BE＝CD；
(2)若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
15.如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于点G，DF⊥AC于点F，已知AF=CE，AB=CD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如果∠GBC=∠BCD，AG=6，GE=2，求AB的长．
16.如图，的对角线相交于点，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接，并延长交于点．设点的运动时间为秒．
(1)求的长(用含的代数式表示)；
(2)当四边形是平行四边形时，求的值；
(3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由．
答案
一、选择题
1.C．2.D．3.B.4.B．5.C．6.C．7.B
二、填空题
1.①③④
2.AD=BC(答案不唯一)
3.DE=BF
4.AB∥CD．
5.30
6.5
7.
三、解答题
1.证明：(1)四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
(2)，
，
．
2.解：四边形是平行四边形，
，，．
、分别是和的角平分线，
．
．
．
3.解：四边形是平行四边形，
，
同理得
点在内部，
∴，
由知：
∴．
4.(1)解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
(2)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴
．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
5.证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∵点、、、分别是、、、的中点
∴，，，
∴，
在和中
∴
6.证明：∵四边形ABCD是平行四边形(已知)，
∴AB＝CD，AB∥CD
(平行四边形的对边平行且相等)，
∴∠BAE＝∠DCF(两直线平行，内错角相等)，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠BEF＝∠DFE．
7.解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
则()．
又∵，
∴是的中位线，
∴．
答：的长为．
8.解：(1)证明：∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴CD∥BE，CD=BE，
∴AB=BE，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3cm，
∵CD是Rt△FBE的中位线，
∴BC=CE=EF，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3cm．
9.解：(1)∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，即△ADF为等腰三角形；
(2)过A作AH⊥BC，
∵，DE⊥BC，
∴EF//AH，
∴EF是△BAH的中位线，
∵BE=2，
∴EH=2，
∵AB=AC，
∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，
∵DA=AF=5，AC=AB=10，
∴DC=AD+AC=15，
∴．
10.解：(1)证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥且．
∵点、分别是边、的中点，
∴，．
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形
∴∥．
(2)设BH与CN交于点E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，
∴BH⊥CN，
∵N是AB的中点，
∴EN是△BAH的中位线，
∴BE=EH，
∴CN是BH的垂直平分线，
∴CH=CB，
∴△BCH是等腰三角形．
11.解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC＋∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知，，
，
≌，
，
利用三角形的中位线得，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
12.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴AE=AD，CF=CB，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
(2)如图，过D点作DG⊥AB于点G，
∵∠A=，AE=AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD=4，
∴DE=AE=4，
∵AE=2EB，
∴BE=2，
在Rt△ADG中，AD=4，∠A=，
∴，
∴DG=，
∴．
13.解：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE＋DF＝AF＋FC＝AC；
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵ＺAB＝AC，
∴∠B＝∠ACB=∠DCF，
∴∠FDC＝∠DCF，
∴DF＝FC，
∴DE=AF=AC+CF＝AC＋DF；
即DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠ABC，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DF=FC=FA+AC=DE+AC；
∴DF﹣DE＝AC．
(3)当点D在边BC上时，
如图①所示，
DE＋DF＝AC，
∴DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当点D在边BC的反向延长线上时，如图③所示，DF﹣DE＝AC．
∴DF＝AC＋DE＝10＋7＝17.
∴DF的长为17或3，
14.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE=CD；
(2)∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF，
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
15.解：(1)∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
∴AE=CF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠BAE=∠DCF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠BCD，
∴∠AGB=∠GBC，
∵∠GBC=∠BCD，
∴∠AGB=∠BAG，
∴AB=GB，
设AB=GB=x，则BE=x-2，
∵BG⊥AC，
∴，
∴
，
解得x=9，
∴AB=9．
16.解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠PAO=∠QCO，
∵∠AOP=∠COQ，
∴△APO≌△CQO(ASA)，
∴AP=CQ=t，
∵BC=10，
∴BQ=10-t；
(2)∵AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
即t=10-t，解得：t=5，
∴当t为5秒时，四边形ABQP是平行四边形；
(3)过点O作直线EF⊥AP，垂足为E，与BC交于F，
在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=10，
∴AC=，
∴AO=CO=AC=4，
∵S△ABC＝=，
∴AB?AC=BC?EF，
∴6×8=10×EF，
∴EF＝，
∴OE=，
∴AE==，
当时，AP=，
∴2AE=AP，即点E是AP中点，
∴点O在线段AP的垂直平分线上．