2021-2022学年人教版九年级上册第二十五章 概率初步 单元测试
一、单选题
1．（2021·禹州模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件
B．“如果a2＝b2，那么a＝b”是必然事件
C．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
D．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件
2．（2021九上·仙居期末）一只不透明的袋子里放着6个只有颜色不同的小球，其中4个白球、2个红球，从该袋子里摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是 ，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27 B．23 C．22 D．18
5．（2020·渠县模拟）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
6．（初中数学北师大版七年级下册可能性的大小）分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019·德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ， 的卡片，乙中有三张标有数字 ， ， 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为 ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 ．若 ， 能使关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·河南模拟）疫情防控，我们一直在坚守.某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查.若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2017·槐荫模拟）若宇宙中一块陨石落在地球上，它落在陆地上的概率是0.3，那么用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占的比例时，陆地面积所对应的圆心角是（ ）
A．54° B．72° C．108° D．114°
10．（2020·呼和浩特模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
二、填空题
11．（2020·澧县模拟）从 ，0， ， ，3.5这五个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率为 ．
12．（2020九上·秦淮期末）如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
13．（2019·襄阳）从2，3，4，6中随机选取两个数记作 和 ，那么点 在直线 上的概率是 .
14．（2020·台安模拟）在一个不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别.每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球的个数是 .
15．（2020九上·北京期中）下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000
针与直线相交的次数m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548
针与直线相交的频率p＝ 0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是： ．
16．（2020九上·秦都期末）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验.经过统计发现共抛掷 次啤酒瓶盖，凸面向上的次数为 次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为 (结果精确到 )
17．（2021·通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
18．（2021·漳浦模拟）从 、-1、1、2中任取两个数求和作为 ，使抛物线 的开口向上的概率为 .
三、解答题
19．飞镖随机地掷在下面的靶子上（图中圆的半径平分半圆）
（1）飞镖投在区域A，B，C的概率各是多少？
（2）飞镖投在区域A或B中的概率是多少？
20．（2020·长春模拟）净月某校在抗疫期间组织志愿小组到附近敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小红、小丽中选取一名男生和一名女生．请用画树状图（或列表）的方法，求出恰好选中男生小明和女生小红的概率．
21．（人教版数学九年级上册25.1.2概率课时练习）动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3．现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
22．在三个不透明的布袋中分别放入一些除颜色不同外其他都相同的玻璃球，并搅匀，具体情况如下表：
布袋编号 1 2 3
袋中玻璃球色彩、数量及种类 2个绿球、2个黄球、5个红球 1个绿球、4个黄球、4个红球
6个绿球、3个黄球
在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？
（1）随机从第一个布袋中摸出一个玻璃球，该球是黄色、绿色或红色的；
（2）随机的从第二个布袋中摸出两个玻璃球，两个球中至少有一个不是绿色的；
（3）随机的从第三个布袋中摸出一个玻璃球，该球是红色的；
（4）随机的从第一个布袋中和第二个布袋中各摸出一个玻璃球，两个球的颜色一致．
23．（2017·南通）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
24．（2019·泰州）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 、 、 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 、 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 、 两个项目的概率．
25．（2019·朝阳）有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同.将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上.
（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 .
（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率.
26．（2018九下·梁子湖期中）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表。
组别 分数段 频次 频率
A 60 x<70 17 0.17
B 70 x<80 30 a
C 80 x<90 b 0.45
D 90 x<100 8 0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a= ，b= ；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. “任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件，只有四边形的内角和是360°，所以是随机事件，判断错误；
B. “如果a2＝b2，那么a＝b”是必然事件，a与b也有可能互为相反数，所以是随机事件，判断错误；
C. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生，可能性是50%的事件，只表明一种可能性，并不表示两次试验中一定有一次会发生，所以判断错误；
D. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，判断正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】本题考查事件的可能性，随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，必然事件是在一定条件下，必然发生的事件，从而求解.
2．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】由题意，从袋子里摸出1个球共有4+2=6种等可能的结果，其中，摸出的球是红球的结果有2种，
则所求的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意根据概率公式可求解.
3．【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】
画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为 ；
故答案为：B．
【分析】利用树状图，表示出两辆车在十字路口的可能的转向，可得出一辆向右转，一辆向左转的概率。
4．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】设黑球有x个
摸出红球的概率为
解得x=22
故答案为：C.
【分析】设出黑球的个数列出方程即可求解。
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①通过上述实验的结果，因为正面向上的概率小于0.5可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，符合题意，
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，符合题意；
③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，不符合题意；
正确的有①②，
故答案为：B．
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否符合题意，从而可以解答本题．
6．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、石子落在阴影部分的可能性为 ；
B、石子落在阴影部分的可能性为 ；
C、石子落在阴影部分的可能性为 ；
D、石子落在阴影部分的可能性为 ；
∵最小的伪 ，
故选A．
【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可．
7．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】画树状图如下：
由图可知，共有
种等可能的结果，其中能使乙获胜的有
种结果数，
乙获胜的概率为
，
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根得△=b2-4a＞0；再根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，然后通过计算确定出b2-4a＞0的结果，从而可以确定乙获胜的概率。
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为 .
故答案为：A.
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】扇形统计图；几何概率
【解析】【解答】解：∵陨石落在地球上，它落在陆地上的概率是0.3，
∴陆地面积所对应的圆心角是360×0.3=108°，
故选C．
【分析】周角是360°，“陆地”部分对应的圆心角是108°，所以宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是 =0.3．
10．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C中的概率为 ，符合这一结果，故此选项符合题意；
D中的概率为 ，不符合这一结果，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据频率估计概率，进行判断即可。
11．【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】∵ ， 是无理数，
∴从 ，0， ， ，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是 = ，
故答案为 .
【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图如图所示，
一共有6种情况， 的有 和 两种，
所以点 在直线 上的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据题意画出树状图，利用树状图求出所有等可能的结果数及点（a，b）在直线y=2x上的情况数，然后利用概率公式进行计算可求解。
14．【答案】24
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
解得：x＝24，
经检验：x＝24是分式方程的解，
故袋中白球有24个.
故答案为：24.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.
15．【答案】②
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①当投掷次数是1000时，录“钉尖向上”的次数是454“钉尖向上”的频率是0.454，概率不一定是0.454，不符合题意.
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477，符合题意.
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.4769．故原说法不符合题意.
综上可知，其中合理的是②.
【分析】根据图表以及三个推断，分别判断得到答案即可。
16．【答案】0.42
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 ＝0.42，
故答案为：0.42.
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可.
17．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得
，
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合 ， ，故有2种等可能性，所以概率为 ．
故答案为：
【分析】因为随机闭合开关 ， ， 中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，即可得到发光的概率。
18．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得：任取两个数的可能有 和 ， 和1， 和2，-1和1，-1和2，1和2，
∴ 的值为 、 、 、0、1、3，
∵抛物线 的开口向上，
∴ 的值为正数，
∴使抛物线 的开口向上的概率为 ；
故答案为 .
【分析】先列举出所有a的等可能情况共6种，根据抛物线的开口向上，可得的值为正数，其中大于0的有4种，然后利用概率公式计算即可.
19．【答案】解：（1）飞镖投在区域A，B，C的概率各是：，，；
（2）飞镖投在区域A或B中的概率是：．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）利用几何图形的面积分割大小进而求出飞镖投在区域A，B，C的概率；
（2）利用几何图形的面积分割大小进而求出飞镖投在区域A或B中的概率．
20．【答案】解：列表得：
小亮 小明 小伟
小丽 小丽，小亮 小丽，小明 小丽，小伟
小红 小红，小亮 小红，小明 小红，小伟
∵共有6种等可能的情况，而正好是男生小明和女生小红的有1种情况，
∴正好抽到男生小明和女生小红的概率＝ ．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】列表可确定共有6种情况，而正好是男生小明和女生小红的有1种情况，根据概率公式求解即可．
21．【答案】现年20岁的这种动物活到25岁的概率为 =0.625，
现年25岁的这种动物活到30岁的概率为 =0.6，
答：现年20岁的这种动物活到25岁的概率为0.625，现年25岁的这种动物活到30岁的概率为0.6．
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】本题考查了概率的意义，利用了概率的和差．
22．【答案】解：（1）一定会发生，是必然事件；
（2）一定会发生，是必然事件；
（3）一定不会发生，是不可能事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是随机事件．
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义即可作出判断．
23．【答案】解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： = ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】此题主要考查了树状图法求概率，利用树状图得出所有符合题意的情况，再得用概率公式计算求值即可．
24．【答案】解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中 、 两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中 、 两个项目的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及小明恰好抽中B、D两个项目的情况数，然后利用概率公式可求解。
25．【答案】（1）
（2）解：轴对称图形的卡片是B、C、E.
画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，分别是（B，C）、（B，E）、（C，B）、（C，E）、（E，B）、（E，C），
∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率= .
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】（1）解：中心对称图形的卡片是A和D，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 ，
故答案为：
【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义判断出中心对称图形的卡片是A和D，而从中随机抽取1张卡片，共有5种等可能的结果，根据概率公式即可算出答案；
（2）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义判断 轴对称图形的卡片是B、C、E ，根据题意画出树状图，由图可知： 共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果 ，根据概率公式即可算出答案.
26．【答案】（1）0.3；45
（2）360°×0.3=108°.
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°.
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为 = .
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a= =0.3，b=100×0.45=45（人）.
故答案为：0.3，45；
【分析】（1）根据统计图表可知：分数在 60 x<70 段的频数是17，频率是0.17，用分数在 60 x<70 段的频数除以分数在这段的频率即可求出本次调查的总人数；用分数在 70 x<80 的频数除以本次调查的总人数就可求出分数在本段的频率，即a的值；用本次调查的总人数乘以分数在 80 x<90 的频率即可算分数在这个段的频数，即b的值；
（2）用360°乘以分数在 70 x<80 的频率即可算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3） 将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，根据题意画出树形图，由图可知： 共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种 ，根据概率公式就可算出 甲、乙两名同学都被选中的概率 。
1 / 12021-2022学年人教版九年级上册第二十五章 概率初步 单元测试
一、单选题
1．（2021·禹州模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件
B．“如果a2＝b2，那么a＝b”是必然事件
C．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
D．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. “任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件，只有四边形的内角和是360°，所以是随机事件，判断错误；
B. “如果a2＝b2，那么a＝b”是必然事件，a与b也有可能互为相反数，所以是随机事件，判断错误；
C. 可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生，可能性是50%的事件，只表明一种可能性，并不表示两次试验中一定有一次会发生，所以判断错误；
D. “从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，判断正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】本题考查事件的可能性，随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，必然事件是在一定条件下，必然发生的事件，从而求解.
2．（2021九上·仙居期末）一只不透明的袋子里放着6个只有颜色不同的小球，其中4个白球、2个红球，从该袋子里摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】由题意，从袋子里摸出1个球共有4+2=6种等可能的结果，其中，摸出的球是红球的结果有2种，
则所求的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】由题意根据概率公式可求解.
3．（2019·临沂）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】
画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为 ；
故答案为：B．
【分析】利用树状图，表示出两辆车在十字路口的可能的转向，可得出一辆向右转，一辆向左转的概率。
4．（2019·齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是 ，则袋中黑球的个数为（ ）
A．27 B．23 C．22 D．18
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】设黑球有x个
摸出红球的概率为
解得x=22
故答案为：C.
【分析】设出黑球的个数列出方程即可求解。
5．（2020·渠县模拟）某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①通过上述实验的结果，因为正面向上的概率小于0.5可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，符合题意，
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，符合题意；
③在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，不符合题意；
正确的有①②，
故答案为：B．
【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否符合题意，从而可以解答本题．
6．（初中数学北师大版七年级下册可能性的大小）分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：A、石子落在阴影部分的可能性为 ；
B、石子落在阴影部分的可能性为 ；
C、石子落在阴影部分的可能性为 ；
D、石子落在阴影部分的可能性为 ；
∵最小的伪 ，
故选A．
【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可．
7．（2019·德州）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 ， ， 的卡片，乙中有三张标有数字 ， ， 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为 ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 ．若 ， 能使关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】画树状图如下：
由图可知，共有
种等可能的结果，其中能使乙获胜的有
种结果数，
乙获胜的概率为
，
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程有两个不相等的实数根得△=b2-4a＞0；再根据题意画出树状图，得到共有9种等可能的结果，然后通过计算确定出b2-4a＞0的结果，从而可以确定乙获胜的概率。
8．（2020·河南模拟）疫情防控，我们一直在坚守.某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查.若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为 .
故答案为：A.
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.
9．（2017·槐荫模拟）若宇宙中一块陨石落在地球上，它落在陆地上的概率是0.3，那么用扇形统计图反映地球上陆地面积与海洋面积所占的比例时，陆地面积所对应的圆心角是（ ）
A．54° B．72° C．108° D．114°
【答案】C
【知识点】扇形统计图；几何概率
【解析】【解答】解：∵陨石落在地球上，它落在陆地上的概率是0.3，
∴陆地面积所对应的圆心角是360×0.3=108°，
故选C．
【分析】周角是360°，“陆地”部分对应的圆心角是108°，所以宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是 =0.3．
10．（2020·呼和浩特模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C中的概率为 ，符合这一结果，故此选项符合题意；
D中的概率为 ，不符合这一结果，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据频率估计概率，进行判断即可。
二、填空题
11．（2020·澧县模拟）从 ，0， ， ，3.5这五个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】∵ ， 是无理数，
∴从 ，0， ， ，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是： ．
故答案为： ．
【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案．
12．（2020九上·秦淮期末）如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是 = ，
故答案为 .
【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
13．（2019·襄阳）从2，3，4，6中随机选取两个数记作 和 ，那么点 在直线 上的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图如图所示，
一共有6种情况， 的有 和 两种，
所以点 在直线 上的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据题意画出树状图，利用树状图求出所有等可能的结果数及点（a，b）在直线y=2x上的情况数，然后利用概率公式进行计算可求解。
14．（2020·台安模拟）在一个不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别.每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球的个数是 .
【答案】24
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
解得：x＝24，
经检验：x＝24是分式方程的解，
故袋中白球有24个.
故答案为：24.
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.
15．（2020九上·北京期中）下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000
针与直线相交的次数m 454 970 1430 1912 2386 4769 9548
针与直线相交的频率p＝ 0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是： ．
【答案】②
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①当投掷次数是1000时，录“钉尖向上”的次数是454“钉尖向上”的频率是0.454，概率不一定是0.454，不符合题意.
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477，符合题意.
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.4769．故原说法不符合题意.
综上可知，其中合理的是②.
【分析】根据图表以及三个推断，分别判断得到答案即可。
16．（2020九上·秦都期末）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验.经过统计发现共抛掷 次啤酒瓶盖，凸面向上的次数为 次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为 (结果精确到 )
【答案】0.42
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 ＝0.42，
故答案为：0.42.
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可.
17．（2021·通辽）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得
，
由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合 ， ，故有2种等可能性，所以概率为 ．
故答案为：
【分析】因为随机闭合开关 ， ， 中的两个，有3种方法，其中有2种能够让灯泡发光，即可得到发光的概率。
18．（2021·漳浦模拟）从 、-1、1、2中任取两个数求和作为 ，使抛物线 的开口向上的概率为 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由题意得：任取两个数的可能有 和 ， 和1， 和2，-1和1，-1和2，1和2，
∴ 的值为 、 、 、0、1、3，
∵抛物线 的开口向上，
∴ 的值为正数，
∴使抛物线 的开口向上的概率为 ；
故答案为 .
【分析】先列举出所有a的等可能情况共6种，根据抛物线的开口向上，可得的值为正数，其中大于0的有4种，然后利用概率公式计算即可.
三、解答题
19．飞镖随机地掷在下面的靶子上（图中圆的半径平分半圆）
（1）飞镖投在区域A，B，C的概率各是多少？
（2）飞镖投在区域A或B中的概率是多少？
【答案】解：（1）飞镖投在区域A，B，C的概率各是：，，；
（2）飞镖投在区域A或B中的概率是：．
【知识点】几何概率
【解析】【分析】（1）利用几何图形的面积分割大小进而求出飞镖投在区域A，B，C的概率；
（2）利用几何图形的面积分割大小进而求出飞镖投在区域A或B中的概率．
20．（2020·长春模拟）净月某校在抗疫期间组织志愿小组到附近敬老院为老人服务，准备从初三（1）班中的3名男生小亮、小明、小伟和2名女生小红、小丽中选取一名男生和一名女生．请用画树状图（或列表）的方法，求出恰好选中男生小明和女生小红的概率．
【答案】解：列表得：
小亮 小明 小伟
小丽 小丽，小亮 小丽，小明 小丽，小伟
小红 小红，小亮 小红，小明 小红，小伟
∵共有6种等可能的情况，而正好是男生小明和女生小红的有1种情况，
∴正好抽到男生小明和女生小红的概率＝ ．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】列表可确定共有6种情况，而正好是男生小明和女生小红的有1种情况，根据概率公式求解即可．
21．（人教版数学九年级上册25.1.2概率课时练习）动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3．现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
【答案】现年20岁的这种动物活到25岁的概率为 =0.625，
现年25岁的这种动物活到30岁的概率为 =0.6，
答：现年20岁的这种动物活到25岁的概率为0.625，现年25岁的这种动物活到30岁的概率为0.6．
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】本题考查了概率的意义，利用了概率的和差．
22．在三个不透明的布袋中分别放入一些除颜色不同外其他都相同的玻璃球，并搅匀，具体情况如下表：
布袋编号 1 2 3
袋中玻璃球色彩、数量及种类 2个绿球、2个黄球、5个红球 1个绿球、4个黄球、4个红球
6个绿球、3个黄球
在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件？
（1）随机从第一个布袋中摸出一个玻璃球，该球是黄色、绿色或红色的；
（2）随机的从第二个布袋中摸出两个玻璃球，两个球中至少有一个不是绿色的；
（3）随机的从第三个布袋中摸出一个玻璃球，该球是红色的；
（4）随机的从第一个布袋中和第二个布袋中各摸出一个玻璃球，两个球的颜色一致．
【答案】解：（1）一定会发生，是必然事件；
（2）一定会发生，是必然事件；
（3）一定不会发生，是不可能事件；
（4）可能发生，也可能不发生，是随机事件．
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．依据定义即可作出判断．
23．（2017·南通）不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率．
【答案】解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： = ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】此题主要考查了树状图法求概率，利用树状图得出所有符合题意的情况，再得用概率公式计算求值即可．
24．（2019·泰州）小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 、 、 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 、 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 、 两个项目的概率．
【答案】解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中 、 两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中 、 两个项目的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及小明恰好抽中B、D两个项目的情况数，然后利用概率公式可求解。
25．（2019·朝阳）有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同.将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上.
（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 .
（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率.
【答案】（1）
（2）解：轴对称图形的卡片是B、C、E.
画树状图如下：
由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，分别是（B，C）、（B，E）、（C，B）、（C，E）、（E，B）、（E，C），
∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率= .
【知识点】轴对称图形；用列表法或树状图法求概率；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】（1）解：中心对称图形的卡片是A和D，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为 ，
故答案为：
【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义判断出中心对称图形的卡片是A和D，而从中随机抽取1张卡片，共有5种等可能的结果，根据概率公式即可算出答案；
（2）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义判断 轴对称图形的卡片是B、C、E ，根据题意画出树状图，由图可知： 共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果 ，根据概率公式即可算出答案.
26．（2018九下·梁子湖期中）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表。
组别 分数段 频次 频率
A 60 x<70 17 0.17
B 70 x<80 30 a
C 80 x<90 b 0.45
D 90 x<100 8 0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a= ，b= ；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率。
【答案】（1）0.3；45
（2）360°×0.3=108°.
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°.
（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得：
∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，∴甲、乙两名同学都被选中的概率为 = .
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为17÷0.17=100（人），则a= =0.3，b=100×0.45=45（人）.
故答案为：0.3，45；
【分析】（1）根据统计图表可知：分数在 60 x<70 段的频数是17，频率是0.17，用分数在 60 x<70 段的频数除以分数在这段的频率即可求出本次调查的总人数；用分数在 70 x<80 的频数除以本次调查的总人数就可求出分数在本段的频率，即a的值；用本次调查的总人数乘以分数在 80 x<90 的频率即可算分数在这个段的频数，即b的值；
（2）用360°乘以分数在 70 x<80 的频率即可算出扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3） 将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，根据题意画出树形图，由图可知： 共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种 ，根据概率公式就可算出 甲、乙两名同学都被选中的概率 。
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