中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
一元二次方程（单元测试基础培优卷）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一元二次方程的解是（
）
A．-2
B．无解
C．±4
D．±2
【答案】B
【解析】，，-4不能开方，故选：B．
2．若是关于x的一元二次方程，则（
）
A．
B．且
C．
D．或
【答案】C
【解析】由px2﹣3x+p2﹣p=0是关于x的一元二次方程，可知p≠0．故选：C．
3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，移项得：，方程两边同加1，得：，即：，
故选C.
4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B．
5．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且，
∴,∴一次函数表达式为，
有图像可知，一次函数不经过第三象限．故选：C．
6．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（
）
A．12
B．13
C．18
D．13或18
【答案】B
【解析】，，或者，即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不满足三角形三边关系；
而4，3，6能构成三角形，所以三角形的周长为3+4+6=13，故选B.
7．若ab≠1，且有，及，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，，，，
又，，故a和可看成方程的两根，
再运用根与系数的关系得，即．故选A．
8．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（
）
A．﹣3或1
B．3或﹣1
C．3
D．1
【答案】C
【解析】由根与系数的关系得：
，,即,
解得：或,而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去，∴，故选C．
9．对于方程，下列叙述正确的是（
）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
【答案】C
【解析】当时，方程没有实数根；
当时，方程有实数根，则，解得，；
当时，解得．
故选：C．
10．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k．（
）
A．若﹣1＜a＜1，则
B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则
D．若，则0＜a＜1
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k，
∴Δ＝（2a）2?4a（b＋1）＝0，即：4a(
a?b?1)＝0，
又∵ab≠0，∴a?b?1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝?1，∴k＝?1，
∵＝，∴当?1＜a＜0时，a?1＜0，a（a?1）＞0，此时＞0，即；
当0＜a＜1时，a?1＜0，a（a?1）＜0，此时＜0，即.故A、C错误；
当时，即＞0，＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；
当时，即＜0，＜0，解得：0＜a＜1，故D正确.故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．已知m是方程的根，则代数式的值为_______．
【答案】2022
【解析】∵m是方程x2-3x+2021=0的根，∴m2-3m+2021=0，∴m2-3m=-2021，
∴1+3m-m2=1-（m2-3m）=1-（-2021）=2022，故答案为2022．
12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
【答案】3
【解析】∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，∴m+n=-3，∴，
故答案为：3．
13．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．
【答案】
【解析】∵实数、满足，∴a﹣2=0，b+3=0，解得：a=2，b=﹣3，∴，
∵一元二次方程的两个实数根分别为、，∴+=2，=﹣3，
∴=，故答案为：．
14．若x，y都是实数，且满足
，则的值为____．
【答案】4
【解析】设m=x2+y2，则原方程转化为
，整理得：
解得：或（舍），所以x2+y2=4，故填：4．
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为
_____．
【答案】20
【解析】由题意得：，
令，则原方程可化简为，
∴，，
解之得：
，（不合题意，舍去），
∴，．故答案为：20.
16．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____．
【答案】1或-9
【解析】解方程x2-2x=0，得：x1=0，x2=2．
①若x=0是两个方程相同的实数根．
将x=0代入方程x2+3x+m-1=0，得：m-1=0，
∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，
解得：x1=0，x2=-3，符合题意，
∴m=1；
②若x=2是两个方程相同的实数根．
将x=2代入方程x2+3x+m-1=0，得：4+6+m-1=0，
∴m=-9，此时原方程为x2+3x-10=0，
解得：x1=2，x2=-5，符合题意，
∴m=-9．
综上所述：m的值为1或-9．
故答案为：1或-9．
17．关于x的一元二次方程有两个实数根，其中a，b分别表示菱形两条对角线的长度，则菱形面积的最大值为________．
【答案】2
【解析】方程化为，
∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，∴，
∵a，b分别表示菱形两条对角线的长度，
∴菱形面积，
∴菱形面积的最大值为2，
故答案为2．
18．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是__________个．
【答案】
【解析】因为a+b+c＝0，所以b＝﹣a﹣c，
△＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2-4ac=（a﹣c）2≥0，方程一定有实数根，
当a＝c时，△＝0，有两个相等的实数根，故①错误，②正确；
当a、c同号时，根据一元二次方程根与系数的关系，两根的积是＞0，则方程有两个同号的实数根，又∵b＝﹣a﹣c，显然a、b异号，两根之和为﹣＞0．则两根一定都是正数，故③正确．
当a，b同号时，∵b＝﹣a﹣c，显然a与a+c异号，故a、c异号，两根的积是＜0，方程有两个异号实数根．故④正确．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程
（1）；
（2）
【答案】（1）；；（2），
【解析】解：（1）
，
，
，
，
∴
，．
（2）
，
，
，
或，
∴
，
20．（6分）已知在中，，a，b，c分别是的对边，且a，b是关于x的方程的两根，求的面积．
【答案】6
【解析】解：∵a、b是关于x的方程的两根，
∴由根与系数的关系可知：；
由直角三角形的三边关系可知：，
则，
即，
解得或（舍去），
∴，
∴的面积为．
21．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
【答案】（1）3；（2）6
【解析】解：（1）∵方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，
∴x1＋x2＋x1x2＝4﹣1＝3．
（2）∵x1＋x2＝4，x1＝3x2，x1x2＝k﹣3
∴x1＝3，x2＝1，
∴k＝x1x2＋3＝6．
22．（6分）为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
【答案】（1）（﹣x+30）米；（2）20m或40m.
【解析】解：（1）设BE＝am，而
区域①②③的面积相等，
AE＝2am，AB＝3am，
依题意得：2×3a+2a+2x＝120，
∴a＝﹣x+15，
∴AE＝2a＝﹣x+30，
∴AE的长为（﹣x+30）m．
（2）依题意得：3a?x＝600，
即3（﹣x+15）x＝600，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x1＝20，x2＝40．
答：BC的长为20m或40m．
23．（8分）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
【答案】（1）见解析；（2）k＝1或k＝3；（3）k的值为﹣3或0
【解析】解：（1）证明：当k+1=0，即k=-1时，原方程为-4x-4=0，
解得：x=-1；
当k+1≠0，即k≠-1时，△=（3k-1）2-4（k+1）（2k-2）=k2-6k+9=（k-3）2≥0，
∴方程有实数根，
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且k≠﹣1，
∵x2为整数，k为正整数，
∴k=1或k=3；
（3）由（2）得x1=-1，，且k≠-1，
∴|x1-x2|=，
解得：k=-3或k=0，
经检验k=﹣3或k=0是原方程的解，
故k的值为﹣3或0．
24．（10分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
【答案】（1）(50﹣x)，2x；（2）商场每件商品要降价20元
【解析】解：（1）降价促销后商场每件商品盈利：（50﹣x）元，
平均每天日销售量增加：2x
元；
故答案为：（50﹣x），2x；
（2）由题意列方程为：（50﹣x）（40+2x）＝2400，
解得：x1＝20，x2＝10（不合题意，舍去），
答：商场每件商品要降价20元，即让利消费者又能实现2400元的日盈利．
25．（12分）在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
∵，∴．
当时，的值最小，最小值是1.
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出的最小值为__________．
（2）求代数式的最小值．
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）3；（2）7；（3）2
【解析】解：（1），
当时，有最小值，是，
故答案是：3.
（2）．
∵，
∴．
当时，的值最小，最小值是7.
∴的最小值是7.
（3）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
当时，的值最小，最小值是2.
∴的最小值是2.
26．（12分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．
（1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？
（2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
【答案】（1）23；（2）不能，见解析
【详解】
解：（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
则前五行共有个点，
前10行共有个点，
，
前行共有个点，
然后求它们的和，
前行共有个点，
由题意可得：，
整理得，
，
，，
为正整数，
．
答：276是前23行的点数之和；
（2）依题意，得，
即，
，无法开平方得出整数，
三角点阵中前行的点数的和不能是600．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
一元二次方程（单元测试基础培优卷）
姓名：__________________
班级：______________
得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一元二次方程的解是（
）
A．-2
B．无解
C．±4
D．±2
2．若是关于x的一元二次方程，则（
）
A．
B．且
C．
D．或
3．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程的两根，则该三角形的周长为（
）
A．12
B．13
C．18
D．13或18
7．若ab≠1，且有，及，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（
）
A．﹣3或1
B．3或﹣1
C．3
D．1
9．对于方程，下列叙述正确的是（
）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
10．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有两个相等的实数根k．（
）
A．若﹣1＜a＜1，则
B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则
D．若，则0＜a＜1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．已知m是方程的根，则代数式的值为_______．
12．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
13．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则_____________．
14．若x，y都是实数，且满足
，则的值为_____________．
15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加a%，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨2a%，全部售出后预计总收入将增加68%，则a的值为_____________．
16．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“友好方程”，则m的值_____________．
17．关于x的一元二次方程有两个实数根，其中a，b分别表示菱形两条对角线的长度，则菱形面积的最大值为________．
18．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则此方程的根的情况：①必有两个不相等的实数根；②当时，有两个相等的实数根；③当a，c同号时，方程有两个正的实数根；④当a，b同号时，方程有两个异号实数根．其中结论正确的个数是__________个．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程：
（1）；
（2）.
20．（6分）已知在中，，a，b，c分别是的对边，且a，b是关于x的方程的两根，求的面积．
21．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣4x＋k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1＋x2＋x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
22．（6分）为节省材料，某水产养殖户利用水库堤岸（堤岸足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．设BC的长度为xm．
（1）求AE的长（用含x的代数式表示）．
（2）当矩形ABCD的面积为600m2时，求BC的长．
23．（8分）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x1﹣x2|＝3，求k的值．
24．（10分）商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利50元，节日期间，为了尽快减少库存压力，尽可能的让利消费者，商场决定采取适当降价的措施进行促销．经市场调研发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．
（1）降价促销后商场每件商品盈利______元，平均每天日销售量增加______件；
（2）在上述条件不变的情况下，商场要实现日盈利额到2400元，则每件商品降价多少元？
25．（12分）在学了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
∵，∴．
当时，的值最小，最小值是1.
∴的最小值是1.
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出的最小值为__________．
（2）求代数式的最小值．
（3）若，求的最小值．
26．（12分）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．
（1）请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？
（2）这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
