4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 预备知识课前检测【新教材】2021-2022学年北师大版（2019）高一数学必修第一册（Word含解析）

4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课前检测题
一、单选题
1．方程的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则x的取值范围是
A． B．
C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
5．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（ ）
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
6．已知函数，若，则（ ）
A． B． C．0 D．或
7．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中是假命题的是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
9．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个.
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
11．方程的解___________．
12．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．
13．已知,则______.
14．将，，1按从小到大的顺序排列为______.
三、解答题
15．已知函数且,
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由．
16．20世纪30年代，里克特()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
（1）若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
（2）计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？(附：)
参考答案
1．D
【分析】
根据指对数的关系解方程，即可求解集.
【详解】
由得：，
故选：D.
2．B
【分析】
根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果.
【详解】
且
故选：B
【点睛】
本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题.
3．C
【分析】
根据指对幂函数的单调性对选项依次分析即可.
【详解】
对A，因为，所以在上单调递减，又，所以，故A错误；
对B，因为，所以在第一象限上单调递增，
因为，所以，所以，故B错误；
对C，在第一象限上单调递增，又，所以，故C正确；
对D，由换底公式，，，
因为，所以在上单调递减，所以，
即，故D错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查指对幂函数的单调性和对数函数的换底公式，属于基础题.
4．C
【分析】
根据幂函数，指数函数，对数函数的单调性，确定各数的大致范围，从而比较各数的大小.
【详解】
,得；
，得；
， ，即,
得.
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂函数，指数函数，对数函数的单调性，确定各数的大致范围是解决此类问题的关键，属于容易题.
5．A
【分析】
从所给的散点图可知，图象大约过，依此可判断出结果.
【详解】
从所给的散点图可知，图象大约过，所以该函数模型应为指数函数．
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势和所过的特殊点，属于基础题.
6．D
【分析】
根据分段函数的解析式，分段求解相应的对数方程和指数方程即得.
【详解】
当时，,解得;
当时，,解得,
故选：D.
7．A
【分析】
根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.
【详解】
解：因为，，
所以，即，
所以，由于，故，
所以，所以，解得.
故选：A.
8．D
【解析】
【分析】
通过特殊值判断A、B的正误；正弦函数的最值判断C的正误；利用反例判断D是假命题．
【详解】
解：当x=0时，lgex=0，所以A是真命题；
x=0时，tanx=x，所以B是真命题；
因为sinx≤1，当x=时，sinx=1，所以，sinx＜1，C是真命题；
x=0时，ex=x+1，所以?x∈R，ex＞x+1不正确，所以D是假命题；
故选D．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
9．B
【分析】
利用待定系数法求出的表达式即可．
【详解】
解：设，
则，解得，
则，
则．
故选B．
【点睛】
本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．
10．C
【分析】
由题意，次分裂后，共有个，故可得方程，从而得解．
【详解】
由题意，次分裂后，共有个，所以有，
∴，故选C.
【点睛】
本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题．
11．4
【分析】
根据对数的定义可得．
【详解】
由得，所以．
故答案为：4．
12．
【分析】
函数与其反函数图象关于直线对称，则在已知函数图象上，代入求解.
【详解】
与其反函数图象关于直线对称，的反函数的图像经过点，
则的图像经过点，所以，
即，解得.
故答案为：.
【点睛】
函数与其反函数的图象关于直线对称.
13．2
【分析】
平方化简后即可得到答案。
【详解】
因为,则
所以
故答案为：2
【点睛】
此题考查对式子的平方的处理，平方是一种常用的式子处理方法注意掌握，属于简单题目。
14．
【分析】
构造函数，利用其单调性比较大小。
【详解】
解：构造函数，
在上单调递增，又，
即，
故答案为：
【点睛】
本题考查利用函数单调性比较大小，根据式子特点找到函数是关键，是基础题。
15．（1）； （2）见解析.
【分析】
（1）根据对数函数的真数大于0即可（2）首先判断定义域，再计算与的关系.
【详解】
（1）由，所以令
因此函数需满足：，所以函数定义域为:
（2）由（1）得函数定义域为，因为,所以函数为偶函数.
【点睛】
本题主要考查了函数定义域的求法以及函数奇偶性的判断，属于基础题.
16．（1）4.6级；（2）100倍.
【分析】
（1）根据，,计算即可得出结果；
（2）由，化简计算求得即可得出结果.
【详解】
（1）由题设可知：
因此，该次地震的震级约为里氏4.6级.
（2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，.
由题设可得：
∴
因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍
试卷第2 22页，总2 22页
试卷第1 11页，总1 11页
答案第1 11页，总2 22页
答案第1 11页，总2 22页