1.3.2 正方形的判定 课件（共25张PPT）

北师大版 八年级上
第一章 特殊平行四边形
第2课时 正方形的判定
3 正方形的性质与判定　
学 习 目 标
1.掌握正方形的判定定理，并解决相关问题。（重点）
2.熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断。（难点）
3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定
有一个角是直角
或对角线相等
平行四边形
矩形
菱形
有一组邻边相等
或对角线互相垂直
知识回顾
一个角是直角
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,
每条对角线平分一组对角
正方形的对边平行且相等
正方形的四个角都是直角
边
对角线
角
2.正方形的定义及性质
正方形的性质
且一组邻边相等
平行四边形
正方形
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？
（1）
（2）
（3）
（4）
剪口与折痕成 45°角
合作探究
菱形
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
或对角线相等
正方形

定理 有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理 对角线互相垂直的矩形是正方形.
定理 有一个角是直角的菱形是正方形.
定理 对角线相等的菱形是正方形.

正方形的判定
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，
CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴BE=CE
∴四边形BECF是菱形.
又∵∠BEC=90°，
∴四边形BECF是正方形．
例.如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.
例题讲解
如图1，已知在△ABC中，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．请分别回答下列问题，并简述理由. （不添加任何线段）
（1）四边形AEDF是什么四边形？
解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形
∴ ∠BAC=90°时，四边形AEDF是矩形
练一练：
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？
解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
（4）当满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？
解：∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC时，四边形AEDF是正方形．
猜想结论，分组验证
1.如图，在ΔABC中，
EF为ΔABC的中位线，
①若∠BEF=30°，
则∠A= .
②若EF=8cm,
则AC= .
B
F
E
C
A
30°
16cm
合作探究
2.在AC的下方找一点D, 做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？
D
H
G
B
F
E
C
A
3.四边形EFGH的形状有什么特征？
猜想结论，分组验证
EF∥GH，且EF=GH
EH∥FG，且EH=FG
平行四边形
如果一个四边形变为特殊的四边形，中点四边形会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
原四边形可以是：
猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
菱形的中点四边形是矩形
矩形的中点四边形是菱形
正方形的中点四边形是
正方形
猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
等腰梯形的中点四边形是菱形
直角梯形的中点四边形是平行四边形
梯形的中点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形
对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形
猜想结论，分组验证
归纳：
一般四边形的中点四边形：
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
所得中点四边形形状
平行四边形
菱形
矩形
正方形
5种识别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
课堂小结
1、下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
随堂训练
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　 C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD
C
A
4. 已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
D
5、顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是 （　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．梯形
顺次连接菱形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四国边形
顺次连接正方形的各边中点，所得的四边形一定是（　 　）
Ａ．正方形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．平行四国边形
B
C
A

6、如图，在正方形ABCD中，E，F是BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形．
证明：连接AC,交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为菱形．
O
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php