1.1.1菱形的定义与性质 课件（共25张PPT）

北师大版 八年级上
第1课时 菱形的定义与性质
1 菱形的性质与判定　
第一章 特殊平行四边形
学 习 目 标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）
问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？
平行四边形的性质：
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
角：对角相等,邻角互补.
新课导入
活动: 观察下列图片，?找出你所熟悉的图形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
1、菱形的定义
知识讲解
菱形定义的几何表示
∵ ABCD中，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.
问题: 菱形与平行四边形有什么关系？
归纳
平行四边形
菱形集合
平行四边形集合
做一做
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
2、菱形的性质
由于平行四边形的对边相等，故菱形的对边相等，由于菱形的邻边相等，故菱形的四条边都相等。
故：
菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
B
D
A
C
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD。
已知：如图，在菱形ABCD中， AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD且AC平分∠BAD和∠BCD， BD平分∠ABC和∠ADC.
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD.
AC平分∠BAD.
同理：AC平分∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
数学语言
菱形的性质
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角。
∵在菱形ABCD中
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
∴ AB=BC=CD=DA
A
D
C
B
O
∴ AC⊥BD
∠DAC=∠BAC
∠DCA=∠BCA
∠ADB=∠CDB
∠ABD=∠CBD

∴ OA=OC;OB=OD
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
（2）有哪些特殊的三角形？那些全等三角形？
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相　　　　　　　　等的？
新知应用
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形：
直角三角形：
全等三角形：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△COB≌ Rt△COD ≌ Rt△ＡOＤ△ABD≌△CBD △ABC≌△ADC
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
例题讲解
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较
短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成
四个全等的含30°角的直角三角形.
归纳
1.边长为3cm的菱形的周长是（ ）
A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm
2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
C
C
随堂训练
3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（　　）【
A．100° B．104°
C．105° D．110°
B
菱形的性质
菱形的性质
1.四条边都相等
2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
课堂小结
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 （ ）
A.40 B.32 C.24 D.20
C
D
当堂检测
3.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是 （ ）
A.75° B.60° C.45° D.30°
B
6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_____________________.
4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
5.菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.
A
B
C
O
D
3cm
30°
60°、60°、120°、120°
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD (菱形的两条对角线互相垂直).
∴∠AOB=90°.
∴BO= =3(cm).
∴BD=2BO=2×3=6(cm).
8.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，
∴△BCE≌△ＤＣＥ（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
?
A
D
C
B
F
E
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