1.1.3菱形的性质与判定 课件（共23张PPT）

北师大版 八年级上
第一章 特殊平行四边形
第3课时 菱形的性质与判定
1 菱形的性质与判定　
学 习 目 标
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一
些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点)
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会
数形结合、转化等思想方法。（难点）
1．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线
．
2．菱形具有 的一切性质．
3．菱形是 图形也是 图形．
4．菱形的四条边都 ．
5．菱形的两条对角线互相 ．
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直 且平分
6. 菱形的判定：
（1）_________________________________
（2）_________________________________
（3）_________________________________
一组邻边相等的平行四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
四边相等的四边形是菱形.
新课导入
7.平行四边形的面积=_________.
A
B
C
D
F
底×高
8.菱形是特殊的平行四边形，如图,菱形ABCD的面积 =_________.
BC·DF
思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？
A
B
C
O
D
思考：菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？
菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？
菱形的周长=4×边长
【菱形的周长公式】
知识讲解
菱形的周长和面积
【菱形的面积公式】
　菱形是特殊的平行四边形,
那么能利用平行四边形的
面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗?

= S△ABD+S△BCD = AC×BD.
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.
例1：已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1) 对角线AC的长度;
(2) 菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点E，
∴∠AED=900
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
（菱形对角线互相垂直）.
（菱形对角线互相平分）.
（菱形对角线互相平分）.
例题讲解
=2×△ABD的面积
(2)菱形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积
D
B
C
A
E
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝ ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
O
60°
B
A
O
C
D
解：∵花坛ABCD是菱形，
例3 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.

解析：先利用菱形的面积公式等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离．
方法总结：菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，
所以，
S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
又因为菱形两组对边的距离相等，
所以，S菱形ABCD＝AB?h＝13h，
即13h＝120，解得
1、如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
做一做
平行四边形
合作探究
2、如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
菱形
A
有一组邻边相等的
平行四边形是菱形
例4.如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形.
例题讲解
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形．
菱形的性质与判定的综合性问题
菱形的周长与面积
有关计算
周长=4×边长
面积=底×高=两条对角线乘积的一半
课堂小结
1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______.
2.如图，菱形ABCD中，∠BAＤ＝120°，
则∠BAC＝_______.
6cm
60°
3.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm
A
B
C
D
O
当堂检测
4.变式题（1）菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为 ，面积为 。
（2）菱形ABCD的面积为96，对角线AC长为16 ，此菱形的边长为 。
（3）菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍
5
24
10
C
5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是
????????cm?．
16
6. 如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求：
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
E
解: (1) ∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交
于点E.
∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),
DE= BD = ×10 = 5(cm) .
(菱形的对角线互相平分)
A
B
C
D
E
∴AC=2AE=2 ×12= 24(cm)（菱形的对角
线互相平分）.
(2)如图，菱形ABCD的面积
= BD ×AC
=120(cm2).
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分).
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
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