北师大版 八年级上
第一章 特殊平行四边形
第一课时
1.2 矩形的性质与判定
矩形的定义与性质
学 习 目 标
1.理解矩形的概念,知道矩形与平行四边形的区别与联系.(重点)
2.会证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问 题.(重点、难点)
3.掌握直角三角形斜边中线的性质,并会简单的运用. (重点)
平行四边形
有两组对边分别平行的四边形.
知识回顾
生活中的矩形
平行四边形
对边相等
邻边不相等
对角相等
邻角不相等
边特殊化
角特殊化
对边相等
邻边相等
对角相等
邻角相等
四条边都相等
四个角都相等
有一个角是直角
平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).
矩形是特殊的平行四边形.
即:
∠A=90°
ABCD
ABCD是矩形.
知识讲解
矩形定义
四边形
平行四
边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
四边形
平行四边形
矩 形
矩形
矩形与四边形、平行四边形的关系
矩形有什么性质?
有平行四边形的所有性质
还有其它特殊的性质
有一个角是直角
平行四边形
矩形
A
B
C
D
O
矩形的对边平行且相等.
矩形的对角相等.
矩形的对角线互相平分.
边:
角:
对角线:
矩形的一般性质
猜想1:矩形的四个角都是直角.
猜想2:矩形的对角线相等.
角:
对角线:
边:
矩形的特殊性质
矩形的四个角都是直角
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∠C=90°,
∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °,
∴∠B=180-∠C=90°,
∴∠D=∠B=90°,
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
已知:四边形ABCD是矩形,
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的对角线相等
已知:四边形ABCD是矩形,
求证:AC = BD.
A
B
C
D
证明:在矩形ABCD中,
∵∠ABC = ∠DCB = 90°,
又∵AB = DC , BC = CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴AC = BD.
几何语言:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD.
矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
角
对角线
边
对称性
矩形是轴对称图形,也是中心对称图形.
如图:矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系呢?由此你能得到怎样的结论呢?
提示:大家可以通过测量初步猜测
合作探究
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知识讲解
直角三角形斜边上的中线的性质
定理证明
证明:延长BO至D,使OD=BO, 连结AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴ ABCD是矩形,
∴AC=BD,
∴BO= BD= AC.
1
2
1
2
几何语言:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
∵△ABC为直角三角形,BO为AC的中线,
相等的角:
在矩形ABCD中,找出相等的线段与相等的角.
A
D
C
B
O
相等的线段:
AB=CD AD=BC
AC=BD
OA=OC=OB=OD
= AC= BD
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
随堂训练
等腰三角形:
△OAB △ OBC △OCD △OAD
直角三角形:
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形:
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD △OAD≌△OCB
在矩形ABCD中,找出所有等腰、直角、全等三角形.
A
D
C
B
O
例1 如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.
例题讲解
例2 矩形 ABCD,AD长8 cm ,对角线比AB边长4 cm。求AB的长及点A到BD的距离AE的长.
解:设AB=xcm,则对角线长(x+4)cm,
在Rt△ABD中,
由勾股定理:AB2+AD2=BD2 ,
∴
解得x=6,则 AB=6cm.
∵AE×DB= AD×AB,解得 AE= 4.8cm.
“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形,利用面积公式,可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式: AE×DB= AD×AB.
例3 已知:矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于F,若AE=BC.求证:CE=EF.
证明:∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠B=90°,且AD∥BC,∴ ∠1=∠2.
∵ DF⊥AE,∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD.
在△ABE和△DFA中,
∠1=∠2,
∠B=∠AFD ,
AD =AE,
∴△ABE≌△DFA(AAS),
∴AF=BE,∴EF=EC.
矩形的问题常可以转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
1. 填空:
(1)矩形的定义中有两个条件:一是__________ ,二是_______________ .
(2)已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为________、________ 、 ______ 、 _______ 。
有一个角是直角
平行四边形
60°
60°
120°
120°
当堂检测
(3)已知矩形的一条对角线长为10 cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为______ cm,______ cm, ______ cm,_______ cm.
5
5
2.下列说法错误的是( )
A. 矩形的对角线互相平分。
B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形。
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
C
3. 用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是( )
A. 48 cm,12 cm B. 48 cm,16 cm;
C. 44 cm,16 cm D. 45 cm,15 cm.
60cm
D
4. 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处,目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么?
O
A
B
C
D
[答案]公平,因为OA=OC=OB=OD
5.如图,已知BD,CE是△ABC不同边上的高,点G,F分别是BC,DE的中点,试说明GF⊥DE.
解:连接EG,DG.
∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠BDC=∠BEC=90°.
∵点G是BC的中点,
∴EG=2(1)BC,DG=2(1)BC.
∴EG=DG.
又∵点F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
分析:本题的已知条件中已经有直角三角形,有斜边上的中点,由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理.
矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质:
具有平行四边形的一切特征.
四个角都是直角.
对角线相等且平分.
直角三角形的一个性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结
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