2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷人教A版（Word含解析）

2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
?
1.
已知集合，，则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知点，则以线段为直径的圆的方程为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知函数则(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
4.
与直线垂直，且在轴上的截距为的直线方程为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
5.
某化工原料厂原来月产量为吨，一月份增产，二月份比一月份减产，则二月份产量为(?
?
?
?
)
A.吨
B.吨
C.吨
D.吨
?
6.
若函数在上单调递增，则实数的取值范围为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
7.
已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列正确的是(?
?
?
?
)
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
?
8.
函数的零点所在的区间为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
9.
已知实数，满足，则的取值范围为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
10.
已知函数是定义在上的偶函数，且函数在区间上单调递减，，?，
，则，，的大小关系为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
11.
如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
?
12.
已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为(?
?
?
?
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
?
函数的定义域为________.
?
已知圆柱的底面半径为，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________.
?
若函数为上的奇函数，则实数的值为________.
?
如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为矩形，，则四棱锥的外接球的表面积为________.
三、解答题
?
化简求值：
；
.
?
已知函数且）.
求关于的不等式的解集；
若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值．
?
如图，在三棱柱中，，.
若三棱柱的体积为，求三棱锥的体积；
证明：.
?
如图，在长方体中，为的中点，为的中点．
证明：平面；
若，求点到平面的距离．
?
在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆的圆心，过原点的直线与圆相交于，两点（，两点均不在轴上）.
若，求直线的方程；
求面积的最大值．
?
已知函数.
判断函数的奇偶性；
证明：函数在区间）上单调递增；
令（其中），求函数的值域．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区河池市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
直接利用并集定义求解即可.
【解答】
解：∵
，，
∴
.
故选.
2.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程
两点间的距离公式
中点坐标公式
【解析】
由条件可求得圆心坐标以及半径长，即可求解.
【解答】
解：圆心为点，的中点，
∵
,
∴
，
∴
圆的方程为.
故选．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
先求出内层函数值，再求外层函数值.
【解答】
解：函数
∴
，
∴
.
故选.
4.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由题意利用两条直线垂直的性质求得的斜率，再用点斜式求出直线的方程．
【解答】
解：可知直线的斜率为，
因为所求直线与直线垂直，
则所求直线的斜率为.
又所求直线在轴上的截距为，
故所求直线的方程为，
即.
故选.
5.
【答案】
B
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
由题意列出关系式即可求解.
【解答】
解：由题意可得，二月份产量为：
（吨）.
故选.
6.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
幂函数的性质
【解析】
利用幂函数的性质得在上单调递减，从而可求解.
【解答】
解：由幂函数性质可知，在上单调递减，
因为函数在上单调递增，
所以.
故选.
7.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：选项中，，都与垂直，此时，可知选项错误；
选项中，可以在平面内，可知选项错误；
选项中，可以在平面内，可知选项错误．
故选．
8.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
无
【解答】
解：∵
，
，
∴
函数的零点所在的区间为．
故选．
9.
【答案】
C
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
无
【解答】
解：表示圆上任意一点到点的距离，
可得最短距离为，
所以，
最大距离为，
，
可得的取范围为．
故选．
10.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
对数函数的图象与性质
【解析】
根据题意，由偶函数的性质以及对数的运算性质可得，，?结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数为定义在上的偶函数，
，
，
?,
∵
函数在区间）上单调递减，
且，
∴
.
故选．
11.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
无
【解答】
解：连接，相交于点，连接，，
因为为的中点，为的中点，
所以，
所以为异面直线与所成的角，
设，
可得，
，
因为，为的中点，
所以，
．
故选．
12.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
无
【解答】
解：
由函数和的图象可知函数的增区间为，减区间为.
又由，若函数有且仅有两个零点，必有，
则实数的取值范围为．
故选．
二、填空题
【答案】
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由条件可得，求解即可.
【解答】
解：要使函数有意义，
则
解得或，
即函数的定义域为.
故答案为：.
【答案】
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
【解析】
利用圆柱侧面积公式列式求解即可.
【解答】
解：设圆柱的高为，
则由题意可得,
解得.
故答案为：.
【答案】
或
【考点】
函数奇偶性的性质
【解析】
利用求解，并验证即可.
【解答】
解：由函数为上的奇函数，
可得，
即，
解得或，
验证可得均满足条件，
所以或.
故答案为：或.?
【答案】
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
无
【解答】
解：如图，
取的中点，的中点，连接，，在上取点，使得，
取的中点，分别过点，作平面、平面的垂线，两垂线相交于点，
显然点为四棱锥外接球的球心，
由，，可得
，，，
，
故四棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
三、解答题
【答案】
解：原式
.
原式
．
【考点】
有理数指数幂的化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数及其运算
【解析】
无
无
【解答】
解：原式
.
原式
．
【答案】
解：不等式可化为，
①当时，不等式可化为，
解得，
此时不等式的解集为；
②当时，不等式可化为，
解得，
此时不等式的解集为.
可知．
所以函数是单调函数，
又由，，
有，
解得．
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
指、对数不等式的解法
指数函数单调性的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：不等式可化为，
①当时，不等式可化为，
解得，
此时不等式的解集为；
②当时，不等式可化为，
解得，
此时不等式的解集为.
可知．
所以函数是单调函数，
又由，，
有，
解得．
【答案】
解：设三棱柱的高为，的面积为，
由三棱柱的体积为，
可得，?
可得三棱锥的体积为?.?
证明：取的中点，连接，，
∵
?
∴
，
∴
，?
∵
，，
∴
，
∵
，，
∴
?，
∵
，平面，，
∴
平面，
∵
平面，平面，
∴
?.?
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设三棱柱的高为，的面积为，
由三棱柱的体积为，
可得，?
可得三棱锥的体积为?.?
证明：取的中点，连接，，
∵
?
∴
，
∴
，?
∵
，，
∴
，
∵
，，
∴
?，
∵
，平面，，
∴
平面，
∵
平面，平面，
∴
?.?
【答案】
证明：如图，取的中点，连接，，
∵
为的中点，为的中点，
∴
，且，
∵
为的中点，，，
∴
，且，
∴
四边形为平行四边形，
∴
，
∵
，平面，平面，
∴
平面.
解：连接，易证平面，
过作，
则平面，
在中，，
所以，
因为点是的中点，
则点到平面的距离为．
【考点】
直线与平面平行的判定
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
无
【解答】
证明：如图，取的中点，连接，，
∵
为的中点，为的中点，
∴
，且，
∵
为的中点，，，
∴
，且，
∴
四边形为平行四边形，
∴
，
∵
，平面，平面，
∴
平面.
解：连接，易证平面，
过作，
则平面，
在中，，
所以，
因为点是的中点，
则点到平面的距离为．
【答案】
解：可知圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相交于两点，
所以直线的斜率必定存在，
设直线的方程为?，
当时，因为，
所以为等边三角形，
所以?.?
圆心到直线的距离为，
有，
解得，
故直线的方程为?
.?
设圆心到直线的距离为，
可得，
设的面积为，
则
，
所以当时，有最大值，，
所以面积的最大值为.
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：可知圆的圆心为，半径为，
因为直线与圆相交于两点，
所以直线的斜率必定存在，
设直线的方程为?，
当时，因为，
所以为等边三角形，
所以?.?
圆心到直线的距离为，
有，
解得，
故直线的方程为?
.?
设圆心到直线的距离为，
可得，
设的面积为，
则
，
所以当时，有最大值，，
所以面积的最大值为.
【答案】
解：函数的定义域为,
由，
可知函数为偶函数.
证明：设，
，
∵
，
∴
，，，
∴
，
故函数在区间上单调递增．
解：由，
有,
由和可知，
函数在区间上的值域为,
又由函数为偶函数，
可知函数在上的值域为,
令，可得，有，
令，有,
①当时，，
此时函数的值域为;
②当时，，
此时函数的值域为，
因为函数和函数的值域相同，
故可得，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为．
【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
【解析】
无
无
无
【解答】
解：函数的定义域为,
由，
可知函数为偶函数.
证明：设，
，
∵
，
∴
，，，
∴
，
故函数在区间上单调递增．
解：由，
有,
由和可知，
函数在区间上的值域为,
又由函数为偶函数，
可知函数在上的值域为,
令，可得，有，
令，有,
①当时，，
此时函数的值域为;
②当时，，
此时函数的值域为，
因为函数和函数的值域相同，
故可得，
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为．
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