北师大版九年级上册反比例函数中的面积问题经典难题复习巩固学案

反比例函数中的面积问题
导入：
《飞翔的蜘蛛》
信念是一种无坚不催的力量，当你坚信自己能成功时，你必能成功。
一天，我发现，一只黑蜘蛛在后院的两檐之间结了一张很大的网。难道蜘蛛会飞？要不，从这个檐头到那个檐头，中间有一丈余宽，第一根线是怎么拉过去的？后来，我发现蜘蛛走了许多弯路--从一个檐头起，打结，顺墙而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翘起尾部，不让丝沾到地面的沙石或别的物体上，走过空地，再爬上对面的檐头，高度差不多了，再把丝收紧，以后也是如此。
温馨提示：蜘蛛不会飞翔，但它能够把网凌结在半空中。它是勤奋、敏感、沉默而坚韧的昆虫，它的网制得精巧而规矩，八卦形地张开，仿佛得到神助。这样的成绩，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我记住了蜘蛛不会飞翔，但它照样把网结在空中。奇迹是执着者造成的。
知识点回顾
?????由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|???
?? ∴xy=k???? 故S=|k|??? 从而得
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|
?? ?对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
?? ?结论2：在直角三角形ABO中，面积S=
??? 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
??? 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|
???
专题讲解
考点一 已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）?
【例1】 如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝　　　　．
分析：由图象知,k>0,由结论及已知条件得 ∴ k=4
（2）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则??????? ．
分析：连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点
∴??
而 ?????由四边形OEBF的面积为2得? 解得 k=2
评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。
如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．
（1）求两函数的解析式．
（2）求两函数的交点A、C的坐标．
（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得-k=3???? ∴?????????????????? ?
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）由，解得，?????????? ???
∴点A、C的坐标分别为（，3），（3，）??????????????????
（3）设点P的坐标为（0，m）直线与y轴的交点坐标为M（0，2）?????????????????
∵??????????
∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，∴点P的坐标为（0，）或（0，）
评注：依据图象及结论求k值是本题的关键，只有求出k代值，才能通过解方程组求A、C两点的坐标，然后才能解决第③小问。
考点二 已知反比例函数解析式，求图形的面积
【例2】（1） 在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（?? B ）
?
?
?

A．????????????? ??? B．???????????? ???? C．?????????? ?? ???D．
分析：因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S= ，对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B）
（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则??????? ．
分析：由结论知，∴S1+1=S2+1=3? ∴S1=S2=2? S1+S2=4
评注：过双曲线上作坐标轴垂线所围成的矩形的面积可直接由结论求解，过程简单。
考点三 利用点的坐标及面积公式求面积
【例3】如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．
解：（1）在上? ．反比例函数的解析式为：．
点在上?? ????
经过，，
解之得?? 一次函数的解析式为：
（2）是直线与轴的交点
当时，??? 点????
如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积.
.解：（1）∵点A（-2，4）在反比例函数图象上
∴k=-8 ∴反比例函数解析式为y=
（2）∵B点的横坐标为-4， ∴纵坐标为y=2???? ∴B(-4，2)
∵点A（-2，4）、 点B（-4，2）在直线y=kx+b上
∴ 4=-2k+b 且2=-4k+b解得 k=1??? b=6
∴直线AB为y=x+6与x轴的交点坐标C（-6，0）∴S==12
评注：对于例4、例5类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。
考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题
【例4】已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是??? ?? （用含π的代数式表示）
分析：∵x,y为正整数，∴x=1,2,4,8,16
即A、B、C、D、E五个点的坐标为
(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有
S==13π-26
如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ???????????.
分析：因为圆心A中的非阴影部分与圆B中的阴影部分为对称图形，圆A中的阴影部分与圆B中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。
设圆A的圆心A的坐标为(x,y)，由图可知，x=y
??? ∵A点在反比例函数图象上，∴ ???解得x=1从而所求面积为π
评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。
巩固练习：
选择题
1、反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（　）D
(A)2　　 (B)-2 (C)4　　 (D)-4
2、（四川绵阳）若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（　　）D
A．b1＜b2? B．b1 = b2? C．b1＞b2? D．大小不确定
3、（福建龙岩）函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）B
填空题
4、（湖北潜江）如图，反比例函数的图象与直线相交于B两点，AC∥轴，BC∥轴，则△ABC的面积等于 个面积单位.　10
（3）解答题
5、如图 所示，反比例函数的图象经过点，过点A作AB垂直x轴于点B，△AOB的面积为。
（1）求k和b的值；
（2）若一次函数的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AB：OM的值。
分析：以面积为突破口，可求出A点纵坐标b和系数k，结合A点的双重特性（A点既在直线上，又在反比例函数图象上）求解相应问题。
解：（1）∵AB⊥BO，A点坐标为
（2）∵点A在直线上
当y=0时，所以M点的坐标为
点评：纵观近年来的中考试题，关于反比例函数的综合题大多是与一次函数相结合，做题时常利用交点的双重特性来构造方程（组）解决问题。
6.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
7．已知：如图，函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，一直线L经过点C（1，0）将△AOB的面积分成相等的两部分．
（1）求直线L的函数解析式；
（2）若直线L将△AOB的面积分成1：3两部分，求直线L的函数解析式．
拓展训练
已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
分析：（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得
k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为
(2)0(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（
由四边形OADM的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4
故点M为（? D点为（3，4）从而M点为BD中点，BM=DM
评注：第①小问考查求正比例和反比例函数解析式的基本方法，第②小问考查分析图形的能力，第③小问考查反比例函数中的面积的计算问题。三个小问题层次分明，有梯度，是一道较好的中考题目
六、反思总结
当堂过手训练 （快练5分钟，稳准建奇功）
1、已知正比例函数与反比例函数的图象都过，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。
分析：由A点坐标满足可求得m值，再将A点坐标代入可求得正比例函数解析式，联立方程组可求得另一交点坐标。
解：因图象过，即，故，即A（3，1）
将A（3，1）代入，得
所以正比例函数解析式为
联立方程组得
∴另一交点坐标为（）
点评：解此类题时，一般是先构造方程或方程组再来解决问题。
2、如图所示，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点。
（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积。
3、（2008山东省）（1）探究新知： 如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用： ① 如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
试证明：MN∥EF．
② 若①中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行。
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