22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(1） 同步练习（含答案） 2021-2022学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数
22.1.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象和性质
目标：
1.会用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x-h)2＋k的形式，
2.记住二次函数y＝ax2＋bx＋c对称轴、顶点坐标、最大(小)值和y与x之间变化关系
知识梳理：
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可化为____________，因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线________，顶点坐标是________．
2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)当a＞0时，开口方向________，当x________时，y随x的增大而减小；当x________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有最________值，为________．
(2)当a＜0时，开口方向________，当x________时，y随x的增大而减小；当x________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有最________值，为________．
方法点拨：
1、二次函数y＝ax2＋bx＋c三要素：开口方向、对称轴、顶点.
(1)a的符号决定抛物线的开口方向：当 a> 0 时，开口向上；当a<0时，开口向下；│a│相等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)对称轴：平行于y轴(或重合)的直线记作x=.特别地， y轴记作直线x= 0.
(3)顶点坐标是(，)
(4)顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口
方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2．
(2)a、b、c是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项．任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，
基础反馈训练：
1. 将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(　　　)．
A. y＝(x＋1)2＋4 B. y＝(x＋1)2＋2 C. y＝(x－1)2＋4 D. y＝(x－1)2＋2
2. 已知抛物线y＝－2x2＋12x－13，则此抛物线(　　)．
A. 开口向下，对称轴为直线x＝－3 B. 顶点坐标为(－3,5)
C. 最小值为5 D. 当x＞3时，y随x的增大而减小
3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c上部分点的坐标满足下表：
x … －3 －2 －1 0 1 …
y … －3 －2 －3 －6 －11 …
则该函数图象的顶点坐标为(　　　)．
A. (－3，－3) B. (－2，－2) C. (－1，－3) D. (0，－6)
4. 抛物线y＝2x2＋4x＋1的顶点坐标是________．
5．已知二次函数y=x2＋bx＋3的对称轴为x=2，则b=　 ．
6.二次函数y=ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是
7. 二次函数y＝x2＋x－1的图象是由函数y＝x2的图象先向____平移___个单位，再向___平移___个单位得到的．
8. 用配方法求下列抛物线的顶点坐标、对称轴以及对应函数的最值．
(1)y＝x2－x; (2)y＝－x2－2x＋1. (3)y＝x2－2x＋1； (4)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
巩固提高训练：
1. 抛物线y＝(x＋2)(x－6)的对称轴是直线(　　)．
A. x＝－2 B. x＝6 C. x＝2 D. x＝4
2. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　 　)．
A. y3＞y2＞y1 B. y3＞y1＝y2 C. y1＞y2＞y3 D. y1＝y2＞y3
3.已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是(　　)．
A. 或 B. －或 C. D.
4．已知m，n，k为非负实数，且m-k＋1=2k＋n=1，则代数式2k2-8k＋6的最小值为(　　)
A．2.5 B．2 C．0 D．-2
5. 已知抛物线y＝x2－2bx＋4的顶点在x轴上，则b的值一定是
6. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x＝1对称，则点Q的坐标为________．
7. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3,0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________.
8．当x=m或x=n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x=m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为　 　．
9.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　 　．
　
　
(第9题)
10.已知二次函数y=2x2－4x－6．
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标．
(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标．
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
11．已知二次函数y=2x2－4x＋5，
(1)将二次函数的解析式化为y=a(x－h)2＋k的形式．
(2)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，直接写出点A的坐标．
12．在画二次函数的图象时列出了下表：
x … －1 0 1 2 3 4 …
y … 0 3 4 3 0 －5 …
观察表格，可以得到许多信息：
(1)抛物线的对称轴是直线　 　；当x=－2时，对应的y值是　 　；
(2)我们还发现，在对称轴右侧，当x每增加1个单位时，对应y值除了趋势逐渐变小外，在数量上还存在某种规律，试利用这一规律，直接写出当x=5时，对应的y值是　 　；
(3)函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)图象上有三点：A(m，y1)、B(m＋1，y2)、C(m＋2，y3)．通过计算说明：(y3－y2)与(y2－y1)的差为定值．
13. 已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，
顶点为D.
(1)求点A，B，C，D的坐标；
(2)说出抛物线y＝x2－2x－3可由抛物线y＝x2如何平移得到？
(3)求四边形OCDB的面积．
14． 已知两个关于x的二次函数y1与y2，y1＝a(x－k)2＋2(k＞0)，y1＋y2＝x2＋6x＋12；
当x＝k时，y2＝17；且二次函数y2的图象的对称轴是直线x＝－1.
(1)求k的值；
(2)求函数y1，y2的解析式；
(3)在同一直角坐标系内，问函数y1的图象与y2的图象是否有交点？请说明理由
15．已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)．
(Ⅰ)当b=2，c=－3时，求二次函数的最小值；
(Ⅱ)当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
基础反馈训练答案：
1.D 2.D 3.B 4. (－1，－1). 5.－4 6.3 7. 左　2　下　2　
8. (1)y＝()2－，顶点坐标为()，对称轴为x＝，当x＝时，对应函数的最小值为－.
(2)y＝－(x＋1)2＋2，顶点坐标为(－1,2)，对称轴为x＝－1，当x＝－1时，对应函数的最大值为2.
(3)y＝(x－2)2－1，顶点的坐标为(2，－1)，对称轴为x＝2. 当x＝2时，对应函数的最小值为2.
(4)y＝a()2＋，顶点坐标为(，)，对称轴为x＝－.，
当a＞0时，x＝时，对应函数的最小值为.
当a＜0时，x＝时，对应函数的最大值为.
巩固提高训练答案：
1. C 2. D 3. B 4.A 5.2或－2 6. (－2,0) 7. 0 8.3 9. －1
10.(1)解：∵y=2x2－4x－6=2(x－1)2－8，
∴该抛物线的对称轴为：直线x=1，顶点坐标是(1，－8)，
(2当y=0时，0=2x2－4x－6，可得，x1=－1，x2=3，
当x=0时，y=－6，
∴图象与x轴的交点坐标是(－1，0)或(3，0)，与y轴的交点坐标(0，－6)，
(3)∵a=2＞0，对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当x＜－1或x＞3时，y≥0，
11.解：(1)y=2x2－4x＋5=2(x2－2x＋1)＋3=2(x－1)2＋3；
(2)∵抛物线y=2(x－1)2＋3顶点坐标为(1，3)，
∴图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，
得到顶点坐标为A(1＋2，3－1)，即A(3，2)；
12．解：(1)1，－5．(2)－12．
(3)解：设抛物线的解析式为y=a(x－1)2＋4，当x=0时，y=3，
则有：a(0－1)2＋4=3，∴a=－1；
∴y=－(x－1)2＋4．
代入A(m，y1)、B(m＋1，y2)、C(m＋2，y3)得，y1=－(m－1)2＋4，
y2=－(m＋1－1)2＋4=－m2＋4，y3=－(m＋2－1)2＋4=－(m＋1)2＋4，
∴(y3－y2)－(y2－y1)
=[－(m＋1)2＋4＋m2－4]－[－m2＋4＋(m－1)2－4]=(－2m－1)－(－2m＋1)=－2；
∴(y3－y2)与(y2－y1)的差为定值－2．
13. (1)当y＝0，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∵A在B的左侧，∴点A，B的坐标分别为(－1,0)，(3,0)．
当x＝0时，y＝－3.
∴点C的坐标为(0，－3)．又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴点D的坐标为(1，－4)．
(2)将抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移4个单位可得到抛物线y＝x2－2x－3.
(3)如图，连接OD，作DE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F.
S四边形OCDB＝S△OCD＋S△ODB＝OC·DE＋OB·DF＝×3×1＋×3×4＝.
14. (1)由y1＝a(x－k)2＋2，y1＋y2＝x2＋6x＋12，得
y2＝(y1＋y2)－y1＝x2＋6x＋12－a(x－k)2－2＝x2＋6x＋10－a(x－k)2.
又因为当x＝k时，y2＝17，即k2＋6k＋10＝17.
解得k1＝1或k2＝－7(舍去)，故k的值为1.
(2)由k＝1，得y2＝x2＋6x＋10－a(x－1)2＝(1－a)x2＋(2a＋6)x＋10－a.
所以函数y2的图象的对称轴为x＝－，于是有－＝－1，解得a＝－1.
所以y1＝－x2＋2x＋1，y2＝2x2＋4x＋11.
(3)由y1＝－(x－1)2＋2，得函数y1的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2)；
由y2＝2x2＋4x＋11＝2(x＋1)2＋9，得函数y2的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(－1,9)．
故在同一直角坐标系内，函数y1的图象与y2的图象没有交点
15．解：(Ⅰ)当b=2，c=－3时，二次函数的解析式为y=x2＋2x－3=(x＋1)2－4，
∴当x=－1时，二次函数取得最小值－4；
(Ⅱ)当c=5时，二次函数的解析式为y=x2＋bx＋5，
由题意得，x2＋bx＋5=1有两个相等是实数根，
∴△=b2－16=0，解得，b1=4，b2=－4，
∴二次函数的解析式y=x2＋4x＋5，y=x2－4x＋5；
(Ⅲ)当c=b2时，二次函数解析式为y= x2＋bx＋b2，图象开口向上，对称轴为直线x=－，
①当－＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y=b2＋b?b＋b2=3b2为最小值，
∴3b2=21，解得，b1=－(舍去)，b2=；
②当b≤－≤b＋3时，即－2≤b≤0，∴x=－，y=b2为最小值，
∴b2=21，解得，b1=－2(舍去)，b2=2(舍去)；
③当－＞b＋3，即b＜－2，在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b＋3时，y=(b＋3)2＋b(b＋3)＋b2=3b2＋9b＋9为最小值，
∴3b2＋9b＋9=21．解得，b1=1(舍去)，b2=－4；
∴b=时，解析式为：y=x2＋x＋7
b=－4时，解析式为：y=x2－4x＋16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2＋x＋7或y=x2－4x＋16．