22.2二次函数与一元二次方程 专题突破训练（附答案） 2021-2022学年人教版九年级数学上册

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》能力达标
专题突破训练（附答案）
1．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4
2．对于二次函数y＝﹣x2﹣4x+5，以下说法正确的是（　　）
A．x＜﹣1时，y随x的增大而增大
B．x＜﹣5或x＞1时，y＞0
C．A（﹣4，y1），B（，y2）在y＝﹣x2﹣4x+5的图象上，则y1＜y2
D．此二次函数的最大值为8
3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（　　）
A．﹣1，0 B．﹣1，1 C．1，3 D．﹣1，3
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x … ﹣1 0 1 3 …
y … ﹣3 1 3 1 …
A．a＜0 B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0 D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小；其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（　　）
①②③④ B．①②③⑤
C．②③④⑤ D．①②④⑤
7．抛物线y＝x2﹣4x+4与x轴的公共点的坐标是（　　）
A．（2，0），（，0） B．（2，0）
C．（0，2） D．（﹣2，0）
8．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣3 m 1 0 ﹣3 …
有以下几个结论：
①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；
②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2；
③关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1；
④当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
9．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（　　）
A．﹣4＜m＜6 B．﹣＜m＜﹣4 C．6＜m＜ D．﹣＜m＜6
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
11．已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．其对称轴为直线l．在直线l上存在一点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，则点P的坐标为　 　．
12．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　．
13．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法正确的有　 　．（填序号）
①a＞0； ②若b＞0，则当x＞0时，y随x的增大而增大； ③a+b＜3；④一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0）、与y轴交于点C．点M，Q分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P．当t＝　 　时，△APQ的面积S有最大值，为　 　．
15．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是　 　．
16．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是　 　．
17．若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为　 　．
（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为　 　．
18．如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣3m）与x轴交于点A，点B（点B在点A的右边），交y轴于点C，其中m＞0．
（1）直接写出点B，点C的坐标，及抛物线的对称轴．（用m的代数式表示）
（2）过OB的中点M做x轴垂线交抛物线于点D，交BC于点N，若，求m的值．
19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）根据图象，直接写出y＞0时，x的取值范围；
（3）若要使抛物线与x轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？
20．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C，且OA＝OB，点P是对称轴右侧的抛物线上一动点，连接CP交直线AB于点E．
（1）求抛物线与直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为m，当1≤m≤2时，求点P在移动过程中点E的纵坐标的取值范围．
21．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．
（1）求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标．
（2）若点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①求n的最小值；
②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围．
参考答案
1．解：∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
2．解：y＝﹣x2﹣4x+5的对称轴为x＝﹣2，
∴x≤﹣2时，y随x的增大而增大；A不正确；
﹣x2﹣4x+5＝0时的两个根为x＝﹣5，x＝1，
当﹣5＜x＜1时，y＞0；B不正确；
∵﹣4＜﹣2，﹣＞﹣2，
点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2；C正确；
当x＝﹣2时，y有最大值9；D不正确；
故选：C．
3．解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x＝1，与x的轴的一个交点是（3，0），
则该函数与x轴的另一个交点是（﹣1，0），
即当y＝0时，0＝﹣x2+2x+m时x1＝3，x2＝﹣1，
故关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝3，x2＝﹣1，
故选：D．
4．解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
5．解：①如图所示，抛物线开口向下，则a＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以ac＜0．
故结论①不正确；
②如图所示，对称轴x＝﹣＜1，a＜0，则2a+b＜0，．
故结论②不正确；
③如图所示，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，
所以4ac＜b2，
故结论③正确；
④如图所示，当x＝1时，y＞0，
所以a+b+c＞0，
故结论④不正确；
⑤如图所示，设对称轴是直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小．
故结论⑤不正确．
综上所述，正确的结论有1个．
故选：A．
6．解：二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故正确；
②函数在y轴右侧的交点为x＝1，x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，用韦达定理得：其两个根的和为﹣4，同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为﹣4，故正确．
故选：D．
7．解：∵抛物线y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴当y＝0时，x＝2，
即抛物线y＝x2﹣4x+4与x轴的公共点的坐标是（2，0），
故选：B．
8．解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2，故②正确；
抛物线的顶点坐标是（﹣2，1），有最大值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，故①错误；
由抛物线关于直线x＝﹣2对称知，当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，故方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和﹣1，故③正确；
当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1，故④错误，
故选：C．
9．解：令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，
则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，
如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，
当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；
当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，
则△＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m＝；
故选：C．
10．解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故选：A．
11．解：令x＝0，则y＝﹣x2+x+2＝2，即C（0，2）．
令y＝0，即y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，
故点B（4，0），
则函数的对称轴为x＝，如图，设点P（，m），
过点P作PN⊥y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
∵∠CPB＝90°，
∴∠NPC+∠MPB＝90°，
∵∠NPC+∠NCP＝90°，
∴∠NCP＝∠MPB，
∴m＝1，
故点P的坐标为（，1+）或（，1﹣），
故答案为（，1+）或（，1﹣）．
12．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝4时，y＝﹣x2+4x＝﹣16+16＝0，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜4时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，0＜t≤4，
故答案为0＜t≤4．
13．解：设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），
∵两个交点在y轴两侧，
∴x1?x2＜0，即＜0，
∴a＞0，因此①符合题意；
当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点为（0，﹣3），
当b＞0时，而a＞0，对称轴在y轴的左侧，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此②符合题意；
当x＝1时，y＝a+b﹣3的值无法确定，故③不符合题意，
一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根就是一元二次方程ax2+bx﹣3＝﹣2的两根，实际上就是抛物线y＝ax2+bx﹣3，与直线y＝﹣2的两个交点的横坐标，当抛物线的对称轴位于y轴的左侧时，a、b同号，此时一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号，故④符合题意；
故答案是：①②④．
14．解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是：y＝﹣x2+x+4，
∴C（0，4），对称轴为x＝1，
∴AO＝2，CO＝BO＝4，AB＝AO+BO＝6，
①当0＜t≤2时，
PM＝＝2t，
AQ＝6﹣t，
∴S＝PM?AQ＝×2t（6﹣t）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝2时S的最大值为8；
②当2＜t≤3时，
作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，
又∵CO＝OB，
∴FP＝FC＝t﹣2，PM＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t，AQ＝4+（t﹣2）＝t+1，
∴S＝PM?AQ＝（6﹣t）（ t+1）＝﹣t2+4t+3＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，S最大值为 ，
综合上，当t＝时，S的最大值为 ，
故答案为：；．
15．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11，
当y＝t时，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
∴t的取值范围是2≤t＜11，
故答案为：2≤t＜11．
16．解：如图所示，该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，该抛物线与y轴的交点坐标是（0，2）．
所以根据抛物线的对称性质，当y＝2时，x＝﹣2，即A（﹣2，2）．
所以关于x的方程ax2+bx+c＝2的解是：x1＝﹣2，x2＝0．
故答案是：x1＝﹣2，x2＝0．
17．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（3，0）．
∴9a+3b﹣3＝0，
把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴x＝1时，y有最小值﹣4，
当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣4≤y≤5；
（3）当直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，
∴n≥﹣4．
故答案为﹣4≤y≤5，n≥﹣4．
18．解：（1）当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣3m）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3m，
∴B点坐标为（3m，0），
当x＝0时，y＝﹣（x+1）（x﹣3m）＝﹣1×（﹣3m）＝3m，
∴C点坐标为（0，3m），
∵A（﹣1，0），B（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1＝；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3m，0），C（0，3m）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3m；
∵M点为OB的中点，
∴M（m，0），
∵DM⊥x轴，
∴N（m，m），D（m，m2+m），
∴MN＝m，DN＝m2+m﹣m＝m2，
∵＝，
∴＝，
整理得m2﹣m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
19．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）由图象知，当﹣2＜x＜4时，y＞0；
（3）∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（1，9），
∴把抛物线y＝﹣x2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x轴只有一个交点．
20．解：（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2x﹣3＝﹣3，则A（0，﹣3），
∴OA＝3，
∵OA＝OB＝3，
∴B（3，0），
把点B（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2x﹣3中，得9a﹣6﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（0，﹣3），B（3，0）代人y＝kx+b中，得，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）当m＝1时，将x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣4，即P（1，﹣4），
此时对应的直线CP的解析式为y＝﹣2x﹣2，
由解得，
∴E（，﹣），
当m＝2时，将x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3．得y＝﹣3，即P（2，﹣3），
此时对应的直线CP的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立，解得，
∴E（1，﹣2），
由图象，可知当1≤m≤2时，点E的纵坐标随m的增大而增大，
∴点E的纵坐标的取值范围为﹣≤y≤﹣2．
21．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，
故抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（﹣1，0）；
（2）①y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，
故n的最小值为﹣4；
②令|y|＝|x2﹣2x﹣3|＝3，解得x＝2或1，
故m的取值范围为：1﹣＜m＜0或2＜m＜1+．