22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图象和性质(2） 巩固点拨训练一体同步练习 （含答案） 2021-2022学年九年级数学人教版上册

第22章 二次函数
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象和性质(2)
目标：
1.会用待定系数法求二次函数的解析式。
2.能根据条件选择适当的二次函数解析式形式：一般式y＝ax2＋bx＋c，顶点式y＝a(x－h)2＋k。列出方程组求出相关系数，得出二次函数关系式．
知识梳理：
1. 在二次函数待定系数法的应用过程中，应根据条件灵活选取适当的函数形式，主要的形式有两种：①一般式：________________；②顶点式：________________.
2. 函数解析式的特点(1)y＝ax2函数图像特点是顶点在原点； (2)y＝ax2＋k函数图像特点是顶点在 轴上；(3)y＝a(x－h)2函数图像特点是顶点在 轴上；；
方法点拨：
用待定系数法求二次函数的解析式：
一般式：y＝ax2＋bx＋c .已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式.
顶点式：y＝a(x－h)2＋k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
基础反馈训练：
1．已知二次函数的图象经过(1，0)、(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是(　 　)
A．y=2x2＋x＋2 B．y=x2＋3x＋2 C．y=x2－2x＋3 D．y=x2－3x＋2
2．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，
则y与x的函数关系式为(　　)
A．y=x2＋2 B．y=(x－2)2＋2 C．y=(x－2)2－2 D．y=(x＋2)2－2
3．如果二次函数y=ax2＋bx，当x=1时，y=2；当x=－1时，y=4，则a，b的值是(　　)　
A．a=3，b=－1 B．a=3，b=1 C．a=－3，b=1 D．a=－3，b=－1
4．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为

(第4题图) (第5题图)
5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为
6. 根据下列条件求表达式：
(1)已知抛物线的顶点在原点，且过点(3，－27)，求抛物线的函数表达式．
(2)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过(2,2)和(1,1)两点，求它的表达式．
(3)已知抛物线的顶点为(2,0)，且过点(－3,5)，求这个二次函数的表达式．
(4)已知抛物线的顶点为(8,9)，且经过点(0,1)，求函数表达式．
巩固提高训练：
1.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为( 　 )
　 A． y=－x2＋2x－5 B． y=ax2－2ax＋a－3(a＞0) 　
C． y=－2x2－4x－5 D． y=ax2－2ax＋a－3(a＜0)
2.已知点(－2，y1)，(－5，y2)、(1，y3)在函数y=2x2＋8x＋7的图象上．则y1、y2、y3的大小关系是( 　)
A． y1＞y2＞y3 B． y2＞y1＞y3 C． y2＞y3＞y1 D． y3＞y2＞y1
3．如果抛物线y=x2－6x＋c－2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于(　　)　
A．8 B．14 C．8或14 D．－8或－14
4．抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(1,2)和(－1,－6)两点，则a＋c=　　．
A．1 B．2 C．－1 D．－2
5. 已知二次函数的图象经过原点及点(，)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为________．
6. 请写出符合以下三个条件的一个二次函数的表达式________．
①过点(3,1)；②当x＞0时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2.
7. 若抛物线y＝ax2＋bx＋3与y＝－x2＋3x＋2的两交点关于原点对称，则b的值为________．
8．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=－1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x的图象上，则这个二次函数的表达式为　 　．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2＋3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为　 　．
(第9题图)
10．新定义：[k，b]为一次函数y=kx＋b(k≠0，k，b为常数)的“关联数”．若“关联数”[1，a－1]的一次函数是正比例函数，则二次函数y=x2－2x＋a的顶点坐标是 　 ．
11.已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －1 0 2 4 …
y … －5 1 1 m …
求：(1)这个二次函数的解析式；
(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
12．已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是B(－2，0)．
(1)求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；
(2)将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．
13.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的函数关系式．
(2)将y=ax2＋bx＋c化成y=a(x－m)2＋k的形式(请直接写出答案)．
(3)若点D(3.5，m)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的一点，请求出m的值，并求出此时△ABD的面积．
　　 (第13题)
14．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2＋b1x＋c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y=a2x2＋b2x＋c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1＋a2=0，b1=b2，c1＋c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=－x2＋3x－2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=－x2＋3x－2可知，a1=－1，b1=3，c1=－2，根据a1＋a2=0，b1=b2，c1＋c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)写出函数y=－x2＋3x－2的“旋转函数”；
(2)若函数y=－x2＋mx－2与y=x2－2nx＋n互为“旋转函数”，求(m＋n)2015的值；
(3)已知函数y=－(x＋1)(x－4)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=－(x＋1)(x－4)互为“旋转函数．”
15．如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y=－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C．
(1)抛物线l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时抛物线l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
　　 (第15题)
16．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出二次函数y=x2－2x＋3的一个“同簇二次函数”；
(2)已知关于x的二次函数y1=x2－2x＋3和y2=ax2＋bx＋2，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式．
(3)已知二次函数y1=x2－2x＋3，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，请直接写出符合要求的二次函数y2的所有表达式．(可用含字母的解析式表示)
基础反馈训练答案：
1.D 2.D 3.A． 4．y=x2－2x－3 y=－3(x－1)2＋3
6. (1)设y＝ax2，把x＝3，y＝－27代入表达式y＝ax2.得－27＝9a，所以a＝－3.
所以抛物线的表达式为y＝－3x2.
(2)设y＝ax2＋c，将x＝2，y＝2及x＝1，y＝1代入，得解得a＝，c＝.
所以抛物线的表达式为y＝x2＋.
(3)设y＝a(x－2)2，把x＝－3，y＝5代入，得5＝a(－3－2)2，所以a＝.
所以函数表达式为y＝(x－2)2.
(4)设y＝a(x－8)2＋9，把x＝0，y＝1代入，得1＝64a＋9，所以a＝－.
所以函数表达式为y＝－(x－8)2＋9.
巩固提高训练答案：
1.D 2.A 3.C 4.D 5. y＝x2＋x　　6. y＝－x2＋　7.3　8.y=x2＋x－． 9.6 10. (1，0)
11.解：(1)依题意，得，解得；
∴二次函数的解析式为：y=－2x2＋4x＋1．
(2)当x=4时，m=－2×16＋16＋1=－15，
由y=－2x2＋4x＋1=－2(x－1)2＋3，故其顶点坐标为(1，3)．
12.解：(1)依题意，有：，解得；
∴y=x2－x－6=x2－x＋－=(x－)2－；
∴抛物线的顶点坐标为(，－)．
(2)由(1)知：抛物线的解析式为y=(x－)2－；
将其沿x轴向左平移个单位长度，得：y=(x－＋)2－=(x＋2)2－．
13. (1)由已知得解得∴y＝x2－4x＋3.
(2)y=x2－4x＋3=(x－2)2－1；
(3)∵D(3.5，m)是抛物线y＝x2－4x＋3上的点， ∴m＝.
∴S△ABD＝×2×＝.
14．(1)解：∵a1=－1，b1=3，c1=－2，∴－1＋a2=0，b2=3，－2＋c2=0，∴a2=1，b2=3，c2=2，
∴函数y=－x2＋3x－2的“旋转函数”为y=x2＋3x＋2；
(2)解：根据题意得m=－2n，－2＋n=0，解得m=－3，n=2，
∴(m＋n)2015=(－3＋2)2015=－1；
(3)证明：当x=0时，y=－(x＋1)(x－4)=2，则C(0，2)，
当y=0时，－(x＋1)(x－4)=0，解得x1=－1，x2=4，则A(－1，0)，B(4，0)，
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1(1，0)，B1(－4，0)，C1(0，－2)，
设经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=a2(x－1)(x＋4)，把C1(0，－2)代入得a2?(－1)?4=－2，解得a2=，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y=(x－1)(x＋4)=x2＋x－2，
而y=－(x＋1)(x－4)=－x2＋x＋2，
∴a1＋a2=－＋=0，b1=b2=，c1＋c2=2－2=0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=－(x＋1)(x－4)互为“旋转函数．
15.解：(1)把点B的坐标B(2，1)代入y=－(x－h)2＋1，得1=－(2－h)2＋1．解得h=2．
则该函数解析式为y=－(x－2)2＋1(或y=－x2＋4x－3)．
故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是(2，1)；
(2)点C的横坐标为0，则yC=－h2＋1．当h=0时，yC=有最大值1，
此时，抛物线l为：y=－x2＋1，对称轴为y轴，开口方向向下，
所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，所以，x1＞x2≥0，y1＜y2；
(3)∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，且O(0，0)，A(－5，0)，
∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是(－1，0)，(－4，0)．
把x=－1，y=0代入y=－(x－h)2＋1，得0=－(－1－h)2＋1，解得h1=0，h2=－2．
但是当h=－2时，线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=－4，y=0代入y=－(x－h)2＋1，得h=－5或h=－3(舍去)．
综上所述，h的值是0或－5．
16.解：(1)∵y=x2－2x＋3=(x－1)2＋2，
∴y=x2－2x＋3的一个“同簇二次函数”为y=2(x－1)2＋2；
(2)y1＋y2=x2－2x＋3＋ax2＋bx＋2=(a＋1)x2＋(b－2)x＋5，
∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1＋y2=(a＋1)(x－1)2＋2=(a＋1)x2－2(a＋1)x＋(a＋1)＋2．其中a＋1＞0，即a＞－1．
∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=2x2－4x＋2．
(3)二次函数y2的所有表达式y2=n(2x2－4x＋2)．