《22.2二次函数与一元二次方程》能力达标专题提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学人教版上册

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》能力达标
专题提升训练（附答案）
1．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
2．关于二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象，下列叙述正确的是（　　）
A．顶点坐标是（﹣1，1）
B．对称轴是直线x＝1
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．该图象与x轴有两个交点
3．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
4．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
以下结论正确的是（　　）
A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下 B．当x＜3时，y随x增大而增大
C．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2 D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　）
x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 …
A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5
9．如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，下列结论：
①b＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④a+b+c＞0；
⑤关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣3之间，
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 　 　．
12．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　 　．
13．根据下列表格的对应值，判断ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是　 　
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
14．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是　 　．
15．已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝　 　．
16．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　．
17．已知抛物线：y＝x2﹣2x﹣3，抛物线图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边）．
（1）求AB两点间的距离及抛物线的顶点坐标．
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点B．求平移后新的抛物线表达式．
18．如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
20．已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A、B，点B的坐标为（1，0），与y轴交于点C，直线y＝kx+2经过A、C两点．
（1）求a、c、k的值；
（2）若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E，过E作EF⊥y轴，交直线AC于点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，设矩形DEFG的周长为l，求l的最大值；
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC的解析式；
（3）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值．
24．抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC．
（1）求点C坐标以及这条抛物线的解析式；
（2）若点P（x1，b）与点Q（x2，b）在（1）中的抛物线上，且x1＜x2，PQ＝n．
①求4x12﹣2x2n+6n的值；
②将抛物线在PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象．当这个新图象与过（0，2）且平行于x轴的直线恰好只有两个公共点时，b的取值范围是　 　．
参考答案
1．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，
∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
2．解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1，
∴A选项错误，B选项正确，
∵抛物线开口向上，顶点为（1，1），
∴抛物线与x轴无交点，D选项错误，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x增大而增大，C选项错误．
故选：B．
3．解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），
∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），
令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴m＝＝2．
故选：C．
4．解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA?AD＝1×2＝2．
故选：B．
5．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
6．解：将（﹣1，3），（0，0），（1，﹣1）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x．
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴当x＝0或x＝2时y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0），（2，0），
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
故选：C．
7．解：①二次函数图象性质知，开口向下，则a＜0．再结合对称轴＞0，得b＞0．据二次函数图象与y轴正半轴相交得c＞0．
∴abc＜0．
①错．
②二次函数图象与x轴交于不同两点，则b2﹣4ac＞0．
∴b2＞4ac．
②错．
③∵，
∴b＝﹣2a．
又当x＝﹣1时，y＜0．
即a﹣b+c＜0．
∴2a﹣2b+2c＜0．
∴﹣3b+2c＜0．
2c＜3b．
∴③正确．
④要使a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，
只需a+b+c＞m（am+b）+c成立．
即当x＝1时的y值大于当x＝m时的y值成立．
由于x＝1时函数有最大值，所以上述式子成立．
∴④正确．
⑤将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y＝1有四个交点即可．
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错．
综上：③④正确，故选：A．
8．解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．
∵﹣0.11更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.3．
故选：B．
9．解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
10．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点（4，y）与（﹣2，y）关于直线x＝1对称，
∵x＝4时，y＜0，
∴x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＞0，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
∴关于x的方程0＝ax2+bx+c的另一个解在﹣2和﹣1之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4个，
故选：D．
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．
故答案为：x＝3或x＝﹣1．
12．解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为1．
13．解：∵当x＝3.24时，y＝﹣0.02；
当x＝3.25时，y＝0.03；
∴方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是：3.24＜x＜3.25．
故答案为：3.24＜x＜3.25．
14．解：令y＝x2﹣（m+1）x＝0，
解得：x＝0，x'＝m+1，
∴抛物线与x轴的两个交点为（0，0）和（m+1，0），
∵其中一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴1＜m+1＜2，
即0＜m＜1，
故答案为：0＜m＜1．
15．解：由题意得：函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝2，
∵x＝4时，y＞0，
根据函数的对称性x＝2时，y＞0，
而当x＝3时，y＜0，
故3＜x2＜4，
故m＝3，n＝4，
故m+n＝7，
故答案为7．
16．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．
17．解：（1）由x2﹣2x﹣3＝0，得：x＝﹣1或＝3，
∴AB＝|﹣1﹣3|＝4，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为 （1，﹣4）；
（2）设新抛物线表达式：y＝（x﹣m）2﹣3，把（3，0）代入得：m＝3士，
∴新地物线表达式是：y＝（x﹣3+）2﹣3或y＝（x﹣3﹣）2﹣3．
18．解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x?﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x?﹣4x．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
20．解：（1）因为b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
所以该函数图像与x轴总有两个公共点；
（2）当y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1．
函数图像与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），
因为函数图像与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，
所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0，
解得﹣1＜m＜1．
21．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
22．解：（1）∵直线y＝kx+2经过A、C两点．
∴x＝0时，y＝2．
∴C（0，2）．
将B（1，0）、C（0，2）代入抛物线得：．
∴．
∴抛物线y＝﹣x2﹣x+2．
当y＝0时，x1＝﹣4、x2＝1．
∴A（﹣4，0）．
将A（﹣4，0）代入直线y＝kx+2得：k＝．
∴a＝；c＝2；k＝．
（2）根据（1）可得：直线y＝x+2．
设点D（m，m+2）．
∴E（m，﹣m2﹣m+2）．
∵EF⊥y轴．
∴F（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+2）．
∴DE＝﹣m2﹣m+2﹣（m+2）＝﹣m2﹣2m．EF＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m．
∴矩形DEFG的周长为l＝2（DE+EF）＝﹣3m2﹣12m＝﹣3（m+2）2+12．
∴当m＝﹣2时，l的最大值为：12．
23．解：（1）依题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0）
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3；
（3）BC与直线x＝﹣1的交点为M，如图，
∵MA＝MB，
∴MA+MC＝MB+MC＝BC，
∴此时MA+MC的值最小，
∵当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
BC＝＝3，
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，距离之和的最小值为3．
24．解：（1）解法一：∵抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与y轴交于点C，
∴C（0，﹣3），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB＝OC，
∴B（3，0）或B（﹣3，0），
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴抛物线经过点B（3，0），
∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
解法二：令y＝0，∴mx2+（m﹣3）x﹣3＝0．∴（x+1）（mx﹣3）＝0．
∴x＝﹣1，x＝，
∵m＞0，点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（，0），
令x＝0，可得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OB＝OC，
∴＝3，
∴m＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）①由抛物线y＝x2﹣2x﹣3可知对称轴为直线x＝1，
∵点P（x1，b）与点Q（x2，b）在这条抛物线上，且x1＜x2，PQ＝n，
∴x1＝1﹣，x2＝1+，
∴2x1＝2﹣n，2x2＝2+n，
∴原式＝（2﹣n）2﹣（2+n）n+6n＝4．
②
结合图形可得当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是：﹣4＜b＜﹣1或b＝2．
故答案为：﹣4＜b＜﹣1或b＝2．