22.2二次函数与一元二次方程 优生辅导专题提升训练（Word版 附答案） 2021-2022学年人教版九年级数学上册

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》优生辅导
专题提升训练（附答案）
1．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1
2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4）
3．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
4．二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．27 B．9 C．﹣7 D．﹣16
5．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+3x+3，y2＝x2+4x+4，y3＝x2+5x+5．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，则（　　）
A．M1＝0，M2＝0，M3＝0 B．M1＝2，M2＝2，M3＝2
C．M1＝0，M2＝1，M3＝2 D．M1＝0，M2＝2，M3＝1
6．将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A．或﹣3 B．或﹣3 C．或﹣3 D．或﹣3
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＜y2
8．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．3≤t＜19 B．2≤t≤15 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6
9．对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程﹣x2+6x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3和x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．二次函数y＝﹣4x2+8mx+3与x轴交于点A、B（其中点A在点B的左边），与y轴交于点C，AB＝2，在y轴上取点D（0，1），连接AD、BC，则AD+BC的最小值为（　　）
A． B． C． D．2
二．填空题（共6小题）
11．对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 　 　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝　 　
13．已知关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，则实数m的取值范围为　 　．
14．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　．
15．关于抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0），给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中正确结论的序号是 　 　．
16．已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝　 　．
17．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A（6，0），B（0，﹣6）两点．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．
（2）若二次函数y＝x2﹣2ax+n图象的顶点在直线AB上，
①设a＝﹣2，当﹣3≤x≤3时，求y的取值范围；
②二次函数y＝x2﹣2ax+n与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围．
18．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OC＝OB，D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）点P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB，交抛物线于点Q．若点C到PQ的距离大于2个单位长度，求点Q的横坐标x0的取值范围．
19．已知抛物线C1的解析式为y＝x2+x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线C1平移得到抛物线C2，且C2经过C1上一点P（2，m）C2交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C2的解析式；
（3）将抛物线C1沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．
20．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C，且OA＝OB，点P是对称轴右侧的抛物线上一动点，连接CP交直线AB于点E．
（1）求抛物线与直线AB的解析式．
（2）设点P的横坐标为m，当1≤m≤2时，求点P在移动过程中点E的纵坐标的取值范围．
参考答案
1．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
2．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，
∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
3．解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
4．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m，得4+12+m＝0，
解得m＝﹣16．
故选：D．
5．解：在y1＝x2+3x+3中，
b2﹣4ac＝32﹣4×3＝﹣3＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴M1＝0；
在y2＝x2+4x+4中，
b2﹣4ac＝42﹣4×4＝0，
∴抛物线与x轴有1个交点，
∴M2＝1；
在y3＝x2+5x+5中，
b2﹣4ac＝52﹣4×5＝5＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，
∴M3＝2；
故选：C．
6．解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），
把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），
如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b＝0，解得b＝﹣3；
当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）相切时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得x2﹣3x﹣b﹣3＝0，△＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得b＝﹣，
所以b的值为﹣3或﹣，
故选：A．
7．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴当＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．
故选：D．
8．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，解得b＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）化为x2＝t﹣3，
∵关于x的一元二次方程x2+（b+2）x+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
∴t﹣3≥0且＜4或t﹣3≥0且﹣＞﹣1，
解得3≤t＜19或3≤t＜4，
综上所述，t的范围为3≤t＜19．
故选：A．
9．解：由题意关于x的方程y＝x2﹣6x+m＝﹣2（m≠0）有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝x2﹣6x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图（省去y轴）如下：
y轴不能确定在哪个位置，可能在x1与x3之间．而在当这种情况是应小于0．
反之因为x2，x4都在对称轴x＝3的右侧，均为正实数，而x2又大于x4．故应大于1．
故选：D．
10．解：令y＝﹣4x2+8mx+3＝0，
则x1+x2＝2m，x1x2＝﹣，
则AB2＝|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4m2+3＝22，解得m＝，
当m＝时，
则抛物线的表达式为y＝﹣4x2+4x+3，
令y＝﹣4x2+4x+3＝0，解得x＝﹣或，
则AD+BC＝+＝2；
当m＝﹣时，
同理可得：AD+BC＝，
∵＞2，
故AD+BC的最小值为2，
故选：D．
11．解：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为﹣，
∴b≤﹣，
故答案为b≤﹣．
12．解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0），
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6
即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t，故答案为﹣8．
13．解：∵关于x的方程mx2+2x+5m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴，
解得，﹣＜m＜0或0＜m＜，
∵x1＜2＜x2，
∴当﹣＜m＜0时，m×22+2×2+5m＞0，
解得﹣＜m＜0；
当0＜m＜时，m×22+2×2+5m＜0，
解得m无解；故答案为：﹣＜m＜0．
14．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．
15．解：由，消去y得到，ax2﹣4x﹣1＝0，
∵△＝16+4a，a＜0，
∴△的值可能大于0，
∴抛物线与直线y＝2x+2可能有交点，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4a＞0，
∴a＜1，
∵抛物线经过（0，1），且x＝1时，y＝a﹣1＜0，
∴抛物线与x轴的交点一定在（0，0）与（1，0）之间．故②正确，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），
∴2≥﹣＞0且2≥≥0，
解得，a≥1，故③正确，
故答案为：②③．
16．解：由题意得：函数的对称轴为直线x＝（x1+x2）＝2，
∵x＝4时，y＞0，
根据函数的对称性x＝2时，y＞0，
而当x＝3时，y＜0，
故3＜x2＜4，
故m＝3，n＝4，
故m+n＝7，
故答案为7．
17．解：（1）A（6，0），B（0，﹣6）代入一次函数y＝kx+b得：
，解得，
∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x﹣6；
（2）二次函数y＝x2﹣2ax+n图象的顶点为（a，﹣a2+n），
∵顶点在直线AB上，
∴﹣a2+n＝a﹣6，可得n＝a2+a﹣6，
①a＝﹣2时，n＝﹣4，二次函数为y＝x2+4x﹣4，顶点坐标为：（﹣2，﹣8），
当x＝﹣3时，y＝﹣7，
当x＝3时，y＝17，
如图：
∴当﹣3≤x≤3时，y的取值范围是﹣8≤y≤17；
②二次函数y＝x2﹣2ax+n＝x2﹣2ax+a2+a﹣6，抛物线开口向上，顶点为（a，a﹣6），
△＝（﹣2a）2﹣4（a2+a﹣6）＝﹣4a+24，
图象与x轴正半轴始终有交点，分两种情况：
（一）a＞0时，只需满足△≥0，
∴﹣4a+24≥0，解得a≤6，
∴0＜a≤6，
（二）a≤0时，需满足△≥0，且图象与y轴交点的纵坐标a2+a﹣6＜0，即（a+3）（a﹣2）＜0，
解得：﹣3＜a＜2，
∴﹣3＜a≤0，
综上所述，图象与x轴正半轴始终有交点，0＜a≤6或﹣3＜a≤0．
18．解：（1）由图像，可知a＜0，
将x＝0代入y＝ax2﹣2ax﹣3a中，得y＝﹣3a，
∴点C（0，﹣3a），
∴OC＝﹣3a，
令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∵点A在点B的左侧，
∴点B（3，0），
∴OB＝3，
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）由（1），可知点C的坐标为（0，3），
∵yQ﹣yC＝4﹣3＝1＜2，
∴当点C到PQ的距离大于2个单位长度时，PQ在点C的下方，
∴3﹣yQ＞0，
∴yQ＜1，
令y＝1，即﹣x2+2x+3＝1，
解得，，
∴点Q的横坐标xQ的取值范围为或．
19．解：（1）当y＝0时，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，
故A（﹣4，0），B（﹣2，0），
当x＝0时，y＝2，故C（0，2）．
（2）设平移后的抛物线C2为：y＝x2+bx+c．
∵x＝2
∴y＝＝6，
∴P（2，6），
∵PQ与y轴的夹角为45°，
∴Q1（0，8），Q2（0，4），
①将P（2，6），Q1（0，8）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴抛物线C2为y＝x2﹣x+8．
②将P（2，6），Q2（0，4）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴抛物线C2为y＝x2+x+4．
（3）由题意可知直线AC为：y＝x+2，直线BC为y＝x+1，
∵抛物线沿直线BC平移，抛物线y＝x2+x+2的顶点为（﹣3，﹣），
∴可以设平移后的抛物线为y＝（x+3﹣m）2+m﹣，
①由消去y得x2+（1﹣）x+m2﹣＝0，
由题意：Δ＝0，（1﹣）2﹣4×＝0，解得m＝2，
此时抛物线为y＝（x+1）2+，
∴抛物线顶点的横坐标为﹣1．
②由图象可知将抛物线C1沿直线BC向下平移抛物线与射线AC也只有一个交点，当抛物线经过点A（﹣4，0）时，
＝0，解得m＝﹣6（或0舍弃），
∵m＝﹣6时，顶点的横坐标是﹣9
∴平移后的抛物线顶点的横坐标为x，则﹣9≤x＜﹣3．
综上所述满足条件的抛物线横坐标W为x，则x＝﹣1或﹣9≤x＜﹣3．
20．解：（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2x﹣3＝﹣3，则A（0，﹣3），
∴OA＝3，
∵OA＝OB＝3，
∴B（3，0），
把点B（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣2x﹣3中，得9a﹣6﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（0，﹣3），B（3，0）代人y＝kx+b中，得，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）当m＝1时，将x＝1代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣4，即P（1，﹣4），
此时对应的直线CP的解析式为y＝﹣2x﹣2，
由解得，
∴E（，﹣），
当m＝2时，将x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3．得y＝﹣3，即P（2，﹣3），
此时对应的直线CP的解析式为y＝﹣x﹣1，
联立，解得，
∴E（1，﹣2），
由图象，可知当1≤m≤2时，点E的纵坐标随m的增大而增大，
∴点E的纵坐标的取值范围为﹣≤y≤﹣2．