22.2：二次函数与一元二次方程 培优练习卷（Word版 含答案） 2021--2022学年人教版九年级数学上册

人教版数学九上《二次函数与一元二次方程》培优练习卷
一、选择题
1.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(﹣3，0)，其对称轴为直线x=﹣.
结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1=﹣，x2=；
⑤＜0；
⑥若m，n(m＜n)为方程a(x+3)(x﹣2)+3=0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，
其中正确的结论有(　　)
A．3个? ?? B．4个??? ??? C．5个?? ?? D．6个
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象.
对于下列说法：
①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.
其中正确的是(　　)
A．①②③? ?? B．①②④?? ? C．②③④?? D．③④⑤
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（　　）
①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．
下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2
其中正确的个数有（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点（0.5,0），有下列结论:
①abc＞0； ②a﹣2b+4c=0； ③25a﹣10b+4c=0； ④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m(am-b).
其中所有正确的结论是（ ）

A.①②③ B.①③④ C.①②③⑤ D.①③⑤
6.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过（﹣2，0），则下列结论：①bc＞0；②b+2a=0；③a+c＞b；④16a+4b+c=0；⑤3a+c＜0.其中正确结论的个数是( )

A.5 B.4 C.3 D.2
7.如图所示为二次函数y=x2+bx的图象，对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是( ).
A.t≥-1 B.-1≤t＜3 C.-1≤t＜8 D.3＜t＜8
8.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1，0)，则方程ax2-2ax+c=0的解为( ).
A.x1=-3，x2=-1 B.x1=1，x2=3 C.x1=-1，x2=3 D.x1=-3，x2=1
9.以x为自变量的二次函数y=x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( )
A.b≥ B.b≥1或b≤－1 C.b≥2 D.1≤b≤2
10.若函数y=(m-1)x2-6x+1.5m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为(　　)
A.-2或3　　B.-2或-3 C.1或-2或3　　D.1或-2或-3
11.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n(m＜n)是关于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是(　　)
A.m＜a＜b＜n B.a＜m＜n＜b C.a＜m＜b＜n D.m＜a＜n＜b
12.已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C.若D为AB的中点，
则CD的长为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.
下列结论：①b＞0；②a﹣b+c=0；
③一元二次方程ax2+bx+c+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
上述结论中正确的是　?? 　．(填上所有正确结论的序号)
14.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣1，且过点（0.5，0），有下列结论：
①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0．
其中所有正确的结论是 （填写序号）
15.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）.
有下列结论：
①abc＜0，
②4a+b=0，
③抛物线与x轴的另一个交点是（5,0），
④若点（﹣2,y1），（5,y2）都在抛物线上,则有y1＜y2，
请将正确选项的序号都填在横线上 ．
16.已知抛物线y=x2-k的顶点为点P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k值是 ．
17.如图,抛物线y=ax2-x-1.5与x轴正半轴交于点A(3,0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF,则点E的坐标是　　　　.?
18.若m,n(m是　　　　　　　　(用“<”连接).
三、解答题
19.已知关于x的二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有2个交点.
（1）求k的取值范围；
（2）若图象与x轴交点的横坐标为x1,x2，且它们的倒数之和是-1.5，求k的值.
20.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.
21.如图,抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),与y轴交于点C(0,﹣3),与x轴交于A、B两点．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)在抛物线上存在点P(不与点D重合),使得S△PAB=S△ABD,请求出P点的坐标．
22.已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点(-1, 0)和点(2,-9)．
(1) 求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
(2) 已知点P(2 , -2),连结OP , 在x轴上找一点M,使△OPM是等腰三角形,请直接写出点M的坐标(不写求解过程).
解：
23.已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0)．
(1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5=0与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且|x1﹣x2|=6，求m的值；
(3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a+n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合)，求代数式4a2﹣n2+8n的值．
24.已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.
(1)求m的值.
(2)先作y=x2-(m+1)x+12(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后图象的表达式.
(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值.
参考答案
1.C.
2.C.
3.C
4.D．
5.D
6.B
7.C.
8.C.
9.A.
10.C.
11.A.
12.D.
13.答案为：②③④.
14.答案为：①③．
15.答案为：②③．
16.答案为：3.
17.答案为：(+1,+1)
18.答案为：a19.解：
20.解： (1)当x=0时，y=1.
∴不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点(0，1).
(2)①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，所以Δ=(-6)2-4m=0，m=9.
综上所述，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.
21.解：(1)∵抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x﹣1)2﹣4,
又∵抛物线过点C(0,﹣3),
∴﹣3=a(0﹣1)2﹣4,解得a=1,
∴抛物线的函数关系式为y=(x﹣1)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3；
(2)∵S△PAB=S△ABD,且点P在抛物线上,
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离,
∴点P的纵坐标一定为4．令y=4,则x2﹣2x﹣3=4,解得x1=1+2,x2=1﹣2．
∴点P的坐标为(1+2,4)或(1﹣2,4)．
22.解：(1)?对称轴是x=2???????????
?(2)?
23.(1)证明：由题意可得：
△=(1﹣5m)2﹣4m×(﹣5)
=1+25m2﹣10m+20m
=25m2+10m+1
=(5m+1)2≥0，
故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)mx2+(1﹣5m)x﹣5=0，
解得：x1=﹣，x2=5，
由|x1﹣x2|=6，得|﹣﹣5|=6，
解得：m=1或m=﹣；
(3)由(2)得，当m＞0时，m=1，
此时抛物线为y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2，
由题已知，P，Q关于x=2对称，
∴=2，即2a=4﹣n，
∴4a2﹣n2+8n=(4﹣n)2﹣n2+8n=16．
24.解：(1)对于一元二次方程x2-(m+1)x+(m2+1)=0，
Δ=(m+1)2-4×(m2+1)=-m2+2m-1=-(m-1)2，
∵方程有实数根，
∴-(m-1)2≥0.
∴m=1.
(2)由(1)知y=x2-2x+1=(x-1)2，
它的图象关于x轴的对称图形的函数表达式为y=-(x-1)2,
∴平移后的表达式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
(3)由,消去y得到x2+6x+n+2=0，
由题意知Δ≥0，
∴36-4(n+2)≥0.
∴n≤7.
∵n≥m，m=1，
∴1≤n≤7.
令y′=n2-4n=(n-2)2-4，
∴当n=2时，y′的值最小，最小值为-4，n=7时，y′的值最大，最大值为21.
∴n2-4n的最大值为21，最小值为-4.