(共30张PPT)
14.1.3
反证法
新知导入
议一议
小故事:路边苦李
从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
王戎推理方法是:
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾
假设
“李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李”
是正确的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦，
则因树在“道”边，李子早就被别
人采摘而没有了，
这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
合作探究
想一想
妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.
小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没有外出旅游.
小华是如何推断该命题的正确性的?
假设小芳全家外出旅游，
那么今天不可能碰到小芳，
与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾，
所以假设不成立，
所以小芳全家没有外出旅游.
说一说
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一个例子.
例:
小华睡觉前，地上是干的，早晨起
来，看见地上全湿了。小华说：
“昨天晚上下雨了.”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(
a≤b≤c)有关系a2+b2=
c2时，这个三角形一定是直角三角形。
那么，如果此时a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢?
做一做
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形,
你发现了什么?
(1)a=
1.0，b=2.4,
c=2.6;
(2)a=2，b=3,C=4;
(3)a=1.5，b=2.5,c=3.
我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致.
而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形.
由此，可以猜想:
当一个三角形的三边长a、b、c
(a≤b≤c)有关系
a2
+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
然而,想从已知条件a2
+b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论,十分困难.
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是一个直角三角形;
(2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾;
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
这种证明方法叫做“反证法”.
注意a、b、c
的大小关系:a≤b≤c.
“反证法”其步骤为:
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
回想一下，以前用过类似的方法吗?
读一读
反证法是数学证明的一种重要方法,历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.
因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
思考
现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C=90°
,
那么a2+b2
=c2”是一个真命题.
先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC中,如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C≠90°,那么
a2+b2≠c2”是真命题吗?
例5
求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证:l1与l2只有一个交点.
分析
:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
证明
假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，
不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.
这与两点确定一条直线,即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立,因此两条直线相交只有一个交点.
例6
求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知:△ABC.
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,
即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是
∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
变式
用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B，∠C必为锐角.
证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C=180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角．
注意：
反证法是一种间接证明命题的基本方法，
通常在证明一个数学命题时，如果运用直接语法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
反证法适用场景：
（1）结论本身是以否定形式出现的.
（2）有关结论是以“至多……”“至少……”的形式出现的命题.
（3）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题.
（4）关于唯一性、存在性的问题.
互为否定的表述方式:
是——不是；
等于——不等于；
都是——不都是;
小于——不小于;
大于——不大于；
至少有一个——一个也没有;
至少有三个——至多有两个
课堂练习
1.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设__________________．
四边形的四个内角都是锐角
2.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(
)
A．一个三角形中至少有两个钝角
B．一个三角形中至多有两个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
【解析】
反证法就是从结论的反面出发进行假设，所以证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．选A
3.如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．
解：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理逆定理，可知三角形ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．
【点悟】反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．
4.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交．
已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.
求证：l3与l2相交．
证明：假设______________，那么_________．因为已知___________，所以过直线l2外一点P，有两条直线与l2平行，这与“________________________________________
__________”矛盾，所以假设不成立，即求证的命题正确．
l3与l2不相交
l3∥l2
l1∥l2
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行
基础作业：
课本P117练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P117练习第6题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
14.1.3
反证法
学案
课题
14.1.3
反证法
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.通过实例，体会反证法的含义.
2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
重点
难点
运用反证法进行推理论证.
理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
导
入
学
习
议一议
从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
王戎推理方法是:
有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
了一下果然是苦李.
想一想
妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.
小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没有外出旅游.
小华是如何假设小芳全家外出旅游，
那么今天不可能碰到小芳，
与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾，
所以假设不成立，
所以小芳全家没有外出旅游.
推断该命题的正确性的?
王戎的推理方法是:
假设李子不苦，则因树在“道”边，李子早就被别
人采摘而没有了，这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
讲
授
新
课
究一：
我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c(
a≤b≤c)有关系a2+b2=
c2时，这个三角形一定是直角三角形。
那么，如果此时a2+b2≠c2,这个三角形是否一定不是直角三角形呢?
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形,
你发现了什么?
(1)a=1.0，b=2.4,
c=2.6;
(2)a=2，b=3,C=4;
(3)a=2，b=2.5,c=3.
由此，可以猜想:
当一个三角形的三边长a、b、c
(a≤b≤c)有关系a2
+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
然而,想从已知条件a2
+b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论十分困难.
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是一个直角三角形;
(2)根据勾股定理,一定有a2+b2=
c2,与已知条件a2+
b2≠c2矛盾;
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
这种证明方法叫做“反证法”.
“反证法”其步骤为:
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
回想一下，以前用过类似的方法吗?
探究二：
现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C=90°,
那么a2
+b2
=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC中,如果AB
=
c,
BC
=
a,
CA
=
b,且∠C≠90°那么a2
+b2≠c2”是真命题吗?
先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程.
例5
求证:两条直线相交只有一个交点
已知:两条相交直线l1与l2.
求证:l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
探究三：
例6
求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知:△ABC.
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
反证法适用场景：
（1）结论本身是以否定形式出现的.
（2）有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式出现的命题.
（3）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题.
（4）关于唯一性、存在性的问题.
互为否定的表述方式:
是——不是；
等于——不等于；
都是——不都是;
小于——不小于;
大于——不大于；
至少有一个——一个也没有;
至少有三个——至多有两个
课
堂
练
习
1.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设__________________．
四边形的四个内角都是锐
2.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(
)
A．一个三角形中至少有两个钝角
B．一个三角形中至多有两个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
【解析】
反证法就是从结论的反面出发进行假设，所以证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．选A
3.如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．
解：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理逆定理，可知三角形ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．
【点悟】反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．
4.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交．
已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.
求证：l3与l2相交．
证明：假设______________，那么_________．因为已知___________，所以过直线l2外一点P，有两条直线与l2平行，这与“________________________________________
__________”矛盾，所以假设不成立，即求证的命题正确．
l3与l2不相交
l3∥l2
l1∥l2
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
直线平行．
答
案
参考答案
合作探究：
探究一：
我们可以发现，第一组恰好满足a2+
b2=
c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致.
而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形.
探究二：
证明:
假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，
不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.
这与两点确定一条直线,即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立,因此两条直线相交只有一个交点.
探究三：
证明：
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,
即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是
∠A+∠B+∠C>
60°+60°+
60°=
180°
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
21世纪教育网
www。21cnjy。com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
14.1.3
反证法
教案
课题
4.1.3
反证法
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.通过实例，体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.
重点难点
运用反证法进行推理论证.理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.
教学过程
教学环节
教师活动议一议
设计意图
讲授新课
做一做注意a、b、c的大小关系:a≤b≤c.回想一下，以前用过类似的方法吗?读一读思考
课堂练习1.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设__________________．四边形的四个内角都是锐2.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(
)A．一个三角形中至少有两个钝角B．一个三角形中至多有两个钝角C．一个三角形中至少有一个钝角D．一个三角形中没有钝角【解析】
反证法就是从结论的反面出发进行假设，所以证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．选A3.如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．解：假设a2＋b2＝c2，由勾股定理逆定理，可知三角形ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．【点悟】反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．4.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交．已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P.求证：l3与l2相交．证明：假设______________，那么_________．因为已知___________，所以过直线l2外一点P，有两条直线与l2平行，这与“________________________________________
__________”矛盾，所以假设不成立，即求证的命题正确．l3与l2不相交
l3∥l2
l1∥l2经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
课堂小结
小故事:路边苦李
从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
王戎推理方法是:
有人问王戎为什么，王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?
想一想
妈妈:小华，听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.
小华:不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没有外出旅游.
小华是如何推断该命题的正确性的?
假设小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，
与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾，
所以假设不成立，所以小芳全家没有外出旅游.
王戎的推理方法是:
假设李子不苦，则因树在“道”边，李子早就被别
人采摘而没有了，这与“多子”产生矛盾.
所以假设不成立，李为苦李.
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起
来，看见地上全湿了。小华说：
“昨天晚上下雨了.”
说一说
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形,
你发现了什么?
(1)a=
1.0，b=2.4,
c=2.6;
(2)a=2，b=3,C=4;
(3)a=1.5，b=2.5,c=3.
我们可以发现，第一组恰好满足a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知，组成的三角形是一个直角三角形，与所画图形一致.
而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方，所画图形都不是直角三角形.
由此，可以猜想:
当一个三角形的三边长a、b、c
(a≤b≤c)有关系
a2
+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
然而,想从已知条件a2
+b2≠c2(a≤b≤c)出发，直接经过推理,得出结论,十分困难.
我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论:
(1)假设它是一个直角三角形;
(2)根据勾股定理,一定有a2+b2=c2,与已知条件a2+b2≠c2矛盾;
(3)因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
这种证明方法叫做“反证法”.
“反证法”其步骤为:
先假设结论的反面是正确的;
然后通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;
从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
反证法是数学证明的一种重要方法,历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.
因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C=90°
,
那么a2+b2
=c2”是一个真命题.
先思考作什么假设,再用反证法写出推理过程.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢?即“在△ABC中,如果AB=c,
BC=a,
CA=b,且∠C≠90°,那么
a2+b2≠c2”是真命题吗?
例5
求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证:l1与l2只有一个交点.
分析
:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
证明
假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，
不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.
这与两点确定一条直线,即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立,因此两条直线相交只有一个交点.
例6
求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知:△ABC.
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：
假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°,
即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是
∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°.
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
变式
用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B，∠C必为锐角.
证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
当∠B、∠C都是直角时，∠B+∠C=180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
当∠B、∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾，
综上所述，假设不成立，
∴∠B，∠C必为锐角．
注意：
反证法是一种间接证明命题的基本方法，
通常在证明一个数学命题时，如果运用直接语法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.
反证法适用场景：
（1）结论本身是以否定形式出现的.
（2）有关结论是以“至多……”“至少……”的形式出现的命题.
（3）结论的反面比原结论更具体，更简单容易的命题.
（4）关于唯一性、存在性的问题.
互为否定的表述方式:
是——不是；
等于——不等于；
都是——不都是;
小于——不小于;
大于——不大于；
至少有一个——一个也没有;
至少有三个——至多有两个
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
