人教版九年级上册第二十一章一元二次方程知识点及经典练习题学案

第二十一章
一元二次方程
知识点
内容
一元二次方程概念
只含有一个未知数（一元），
未知数的最高次数是2（二次）
整式方程
判断一个方程式不是一元二次方程，要看化简后的形式
一元二次方程的一般形式
ax?+bx+c=0（a≠0）a，b，c是常数
解法
开平方法；
(2)配方法；
(3)公式法；
(4)因式分解法
求根公式
x＝
根的
判别式
Δ＝b2－4ac
根的判别式与方程的根之间的关系
(1)Δ＝b2－4ac>0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝b2－4ac＝0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
(3)Δ＝b2－4ac<0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根
根与系数
的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－，x1·x2＝
实际应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
审
(2)设
(3)列
(4)解
(5)检验；
(6)答
一元二次方程的概念
1.下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．3x2+
-1=0
B．5x2-6y-3=0
C．ax2-x+2=0
D．3x2-2x-1=0
解：A、是分式方程，故A错误；
B、是二元二次方程，故B错误；
C、a=0时，是一元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确；
故选：D．
方法总结：题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
1.
判断下列关于x的方程是不是一元二次方程.
分析：一元二次方程，必须满足：（1）整式方程；（2）含有一个未知数，并且最高次数是2.
解：方程（1）、（6）、（7）的左边是分式，不属于整式方程；方程（3）含有两个未知数；方程（4）的左边不是整式；方程（5）经整理，得－6x＝1（判断一个方程式不是一元二次方程，要看化简后的形式）；方程（8）中未确定ab≠0；因此，只有（2）、（9）、（10）是一元二次方程.
一元二次方程的一般形式
1.方程2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A.
3、2、5
B.
2、3、5
C.
2、﹣3、﹣5
D.
﹣2、3、5
【答案】C
【解析】
分析：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
详解：2x2﹣3x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5.
故选C.
点睛：本题考查了一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，
bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.
2.将一元二次方程2x2+7=9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．2，9
B．2，7
C．2，-9
D．2x2，-9x
解：2x2+7=9x化成一元
二次方程一般形式是2x2-9x+7=0，则它的二次项系数是2，一次项系数是-9．
故选：C．
一元二次方程的解
若0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，则
m的值为（
）
A．1
B．0
C．1或2
D．2
解：∵0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的一根，
∴（m-1）×0+5×0+m2-3m+2=0，即m2-3m+2=0，
解方程得：m1=1（舍去），m2=2，
∴m=2，
故选D．
方法总结：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．
一元二次方程的解法
配方法：
配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程的一般步骤
移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；
【注意】：1）当时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
1.（2019·江苏中考真题）用配方法解方程，变形后的结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：移项得，x?+8x=-9
配方得，x?+8x+4?=-9+4?
∴（x+4）?=7，
故选D.
2．（2018·浙江中考模拟）用配方法解方程，变形结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
根据配方法的定义,将方程的二次项系数化为1,
得：
，配方得，
即:．
本题正确答案为Ｄ．
公式法
一元二次方程
根的判别式：
方程有两个不相等的实根:
方程有两个相等的实根
方程无实根
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算);
求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
如果b2-4ac≥0,
将a、b、c的值代入求根公式：
最后求出x1，x2
1）x2-=
-
解：将方程化成一般形式
x2-+=0
　　　　　
a=1,
b=
-，
c=
b2-4ac=(-)2-4×1×=0
（2）4x2-3x+2=0
解：a=4,
b=
-3，
c=2.
b2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0
因为在实数范围负数不能开平方，所以方
程无实数根.
因式分解法解
（1）(3x-4)?=(4x-3)?
（2）49（x-3）?=16（x+6）?
（3）x?-6x=0
（4）3（x-5）?=2（5-x）
一元二次方程的应用题
1.
某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到五月份营业额的平均增长率.
分析：本题属于平均增长率问题，由已知可设月平均增长率为x，那么3月份的营业额为400（1＋10％）（1＋x），5月份营业额为400（1＋10％）（1＋x）.
解：设平均月增长率为x，由题意得400（1＋10％）（1＋x）＝633.6
整理得：（1＋x）＝
所以平均月增长率为20％
2.．（2019·四川中考模拟）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．
【答案】x（x﹣1）=21
【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为：x（x﹣1）=21．
3.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x-10）=900
B．x（x+10）=900
C．10（x+10）=900
D．2[x+（x+10）]=900
解：根据题意列方程：x（x+10）=900，
故选B.
4.如图，在宽为
20m，长为
32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为
540m?，求道路的宽．
如果设小路宽为
xm，根据题意，所列方程正确的是（?
?）．
A.
(20-x)(32-x)=540??????
B.
(20-x)(32-x)=100
C
(20+x)(32-x)=540
D.
(20+x)(32-x)=100
【答案】A
【解析】
【分析】
设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形（如图所示），再根据矩形的面积公式即可列出方程.
【详解】利用平移，原图可转化为下图，设道路宽为x米，
根据题意得：（20-x）（32-x）=540．
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题时需利用平移把不规则的图形变为规则图形，再根据矩形的面积公式列出方程．
5.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件.问售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润.
解：设此种商品的售价为x元，商品所赚利润s最大.
答：售价定为10元时所赚利润最大，最大利润是2000元