第1章勾股定理 能力达标专题突破训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册 （Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》能力达标
专题突破训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形面积分别记为S1，S2，S3．若S2＝6，S3＝10．则面积为S1的正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若直角三角形的斜边长平方为6，一条直角边长为1，则另一条直角边长的平方为（　　）
A．25 B．5 C．49 D．7
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．20
4．两个直角三角形拼成如图所示的图形，则x2的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　）
A．50 B．36 C．47 D．64
6．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t表示移动的时间，若△POQ是等腰三角形，此时t的值是（　　）
A．6或12 B．4或12 C．4或6 D．6或8
7．一个直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长的平方为（　　）
A．169 B．196 C．119 D．169或119
8．如图，三角形ABC中，∠ACB＝∠CDB＝90°，则点C到直线AB的距离是（　　）
A．线段CA的长 B．线段AD的长 C．线段CB的长 D．线段CD的长
9．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
10．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，则图中所有正方形的面积的和是（　　）
A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2
12．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　．
13．中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像3，4，5这样一组满足a2+b2＝c2的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知x+y的值为　 　．
a 3
8
15
24
…
x b
4
6
8
10
…
y c
5
10
17
26
…
82
14．如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝3，AB＝4，分别以AB，AC，BC为边作等边三角形，则四边形AFED的面积是　 　．
15．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能判断出是△ABC直角三角形的有　 　．
（1）∠A：∠B：∠C＝3：4：5；（2）a：b：c＝5：4：3；（3）a2+b2＝c2；（4）∠A＝90°﹣∠B；（5）∠A+∠B＝∠C．
16．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③0.3、0.4、0.5；④9、40、41，其中是勾股数的是　 　（填序号）．
17．如图，圆柱形玻璃怀高为10cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
18．如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB＝20米，CA⊥AB且CA＝12米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD＝12米．
（1）试判定△ACD的形状，并说明理由；
（2）求船体移动距离BD的长度．
19．如图，铁路上A、D两点相距25km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？
20．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛AB的距离DE为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，求门宽AB的长是多少寸？
参考答案
1．解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴BC2＝AC2﹣AB2，
∵BC2＝S1、AB2＝S2＝6，AC2＝S3＝10，
∴S1＝S3﹣S2＝10﹣6＝4．
则S1边长为2，
故选：B．
2．解：由勾股定理得：另一条直角边的平方为：5，
故选：B．
3．解：在△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝20，
故选：D．
4．解：由勾股定理得a2＝2
∴x2＝a2+12＝2+1＝3．故选：B．
5．解：∵A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，
∴SA＝25，SB＝9，SC＝9，SD＝4，
∵所有的三角都是直角三角形，
∴SA+SB+SC+SD＝SF，
∴S＝47，
故选：C．
6．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP＝OC﹣CP＝OQ，
即12﹣2t＝t，
解得，t＝4；
（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，
当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP＝OQ，
即2（t﹣6）＝t，
解得，t＝12，
故选：B．
7．解：设第三边为x，
（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
52+122＝x2，
∴x2＝169；
（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
52+x2＝122，
∴x2＝119；
∴第三边的长为169或119．
故选：D．
8．解：∵∠CDB＝90°，
∴点C到直线AB的距离是线段CD的长，
故选：D．
9．解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
10．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
11．解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，
正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，
又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），
则所有正方形的面积的和是：64×3＝192（cm2）．
故选：D．
12．解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
13．解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，
8＝32﹣1，6＝2×3，10＝32+1，
15＝42﹣1，8＝2×4，17＝42+1，
24＝52﹣1，10＝2×5，26＝52+1，
……
80＝92﹣1，18＝2×9，82＝92+1，
∴x＝80，y＝18，
∴x+y＝98，
故答案为98．
14．解：由题意可得，
BE＝BC，BD＝BA，∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴∠BDE＝∠BAC，DE＝AC，
同理可证：△BAC≌△ECF，
∴EF＝BA，AC＝FC，
∴AD＝EF，DE＝AF，
∵BC＝5，AC＝3，AB＝4，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∵∠BDA＝60°，
∴∠ADE＝30°，
作EG⊥DA于点G，
∵DE＝AC＝3，
∴EG＝，
∵AD＝AB＝4，
∴平行四边形AFED的面积是：AD?EG＝4×＝6，
故答案为：6．
15．解：（1）∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形；
（2）∵a：b：c＝5：4：3，
∴b2+c2＝a2，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵a2+b2＝c2，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（5）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以能判断出是△ABC直角三角形的有（2）（3）（4）（5），
故答案为：（2）（3）（4）（5）．
16．解：①1、2、3，因为1+2＝3，无法组成三角形，所以不是勾股数；
②，不是正整数，不属于勾股数；
③0.3、0.4、0.5不是正整数，不属于勾股数；
④因为92+402＝412，所以9、40、41属于勾股数；
故答案为：④．
17．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝15（cm）．
故答案为：15．
18．解：（1）△ACD是等腰直角三角形．理由如下：
由题意可得：CA＝12米，CD＝12米，∠CAD＝90°，
可得AD＝12（米），
故△ACD是等腰直角三角形；
（2）∵CA＝12米，CB＝20米，∠CAD＝90°，
∴AB＝16（m），
则BD＝AB﹣AD＝16﹣12＝4（米）．
答：船体移动距离BD的长度为4米．
19．解：设AP＝xkm，则DP＝（25﹣x）km，
∵B、C两村到E站的距离相等，
∴BP＝PC．
在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，
在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，
∴AB2+AP2＝CD2+PD2，
又∵AB＝15km，CD＝10km，
∴152+x2＝102+（25﹣x）2，
∴x＝10，
即P站应建在距点A10千米处．
20．解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
答：门宽AB的长是101寸．