第2章一元二次方程 能力达标专题突破训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》能力达标
专题突破训练（附答案）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
2．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10
3．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
4．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
5．若（x2+y2）（x2+y2﹣2）﹣3＝0，则x2+y2的值是（　　）
A．3 B．﹣1 C．3或1 D．3或﹣1
6．关于x的一元二次方程x（x+1）﹣3＝mx的根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
7．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
8．方程x2+5x＝0的解为（　　）
A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝5 D．x1＝0，x2＝﹣5
9．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
10．新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有625个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　）A．24 B．25 C．26 D．27
11．已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）﹣m＝0（m＞0）的两根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（　　）
A．0＜α＜β＜2 B．0＜α＜2＜β C．α＜0＜β＜2 D．α＜0且β＞2
12．若一元二次方程 （2m+6）x2+m2﹣9＝0的常数项是0，则m等于　 　．
13．一元二次方程的（a2﹣1）x2+ax﹣1＝0一个根为x＝1，则a＝　 　．
14．对于实数m，n，我们用符号min{m，n}表示m，n两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{x2﹣1，2x2}＝2，则x＝　 　．
15．一元二次方程（x﹣2）（x+3）﹣2（x﹣1）2＝﹣5的解为　 　．
16．一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　 　．
17．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是　 　．
18．已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．
19．解方程：
（1）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
（2）x2﹣4x﹣5＝0．
（3）2x2+x＝3．
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
20．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
21．2020年第一季度，新冠肺炎疫情袭击全国，口罩成为重要的战疫物资．为确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产．该工厂1月生产口罩数100万只，之后逐月增加，到3月底第一季度累计生产口罩数475万只．求这两个月（二月和三月）生产口罩数的平均月增长率．
22．如图，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为135m2，求道路的宽度．
23．已知△ABC的三边长为a，b，c．
（1）满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，判断三角形的形状，说明理由．
（2）请判断（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的正负符号，并说明理由．
24．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根．
25．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
26．已知等腰三角形的两边之和为10，第三边长是方程x2﹣5x+12＝0的根，求这个等腰三角形的周长．
参考答案
1．解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
2．解：x2+2x＝5（x﹣2），
x2+2x＝5x﹣10，
x2+2x﹣5x+10＝0，
x2﹣3x+10＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝10，
故选：D．
3．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
4．解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故选：D．
5．解：设x2+y2＝z，则原方程可变形为z2﹣2z﹣3＝0．
解得z1＝3，z2＝﹣1．
∵x2+y2不小于0，
∴x2+y2＝3，
故选：A．
6．解：原方程可变形为x2+（1﹣m）x﹣3＝0．
Δ＝（1﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝（1﹣m）2+12．
∵（1﹣m）2≥0，
∴（1﹣m）2+12＞0，即Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程x（x+1）﹣3＝mx有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
8．解：∵x2+5x＝0，
∴x（x+5）＝0，
∴x＝0或x＝﹣5，
故选：D．
9．解：依题意得：2（1+x）2＝242．
故选：C．
10．解：依题意，得：1+m+m（m+1）＝625，
解得：m1＝24，m2＝﹣26（不合题意，舍去）．
故选：A．
11．解：设函数y＝x（x﹣2），
令m＝0，
则x（x﹣2）＝0，
解得：x＝0或x＝2，
则函数y＝x（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（0，0），（2，0），
∵m＞0，
∴α＜0＜2＜β，即α＜0且β＞2．
故选：D．
12．解：由题意可知：m2﹣9＝0，
∴m＝±3，
∵2m+6≠0，
∴m≠﹣3，
∴m＝3，
故答案为：3
13．解：把x＝1代入方程得：（a2﹣1）+a﹣1＝0，
解得：a＝1或﹣2，
∵a2﹣1≠0，
∴a＝﹣2
故答案为：﹣2．
14．解：∵min{x2﹣1，2x2}＝2，
∴当x2﹣1≤2x2时，
则x2﹣1＝2，
∴x＝，
当x2﹣1≥2x2时，
则2x2＝2，
解得：x＝±1（舍），
综上所述：x的值为：．
故答案为．
15．解：方程整理得：x2+3x﹣2x﹣6﹣2（x2﹣2x+1）＝﹣5，
去括号得：x2+3x﹣2x﹣6﹣2x2+4x﹣2+5＝0，
即x2﹣5x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝25﹣12＝13＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
16．解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0，
解得：b＞﹣，
故答案为：b＞﹣．
17．解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故答案为﹣7．
18．解：∵方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，
∴m+4≠0且|m|﹣2＝2，
解得：m＝4．
19．解：（1）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
∴3（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
∴x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（3）∵2x2+x＝3，
∴（2x+3）（x﹣1）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝1；
（4）∵4（x+2）2﹣（3x﹣1）2＝0，
∴（2x+4+3x﹣1）（2x+4﹣3x+1）＝0，
∴5x+3＝0或﹣x+5＝0，
∴x1＝﹣，x2＝5．
20．解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
21．解：设这两个月（二月和三月）生产口罩数的平均月增长率为x，由题意列出方程得：
100+100（1+x）+100（1+x）2＝475，
解得：x＝0.5或x＝﹣3.5，
∵x是正数，
∴x＝0.5＝50%，
答：这两个月（二月和三月）生产口罩数的平均月增长率是50%．
22．解：原图经过平移转化如图所示，
设道路宽为xm，
根据题意，得（16﹣x）（10﹣x）＝135，
整理得：x2﹣26x+25＝0，
解得：x1＝25（不合题意，舍去），x2＝1．
则道路宽度为1m．
23．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
∵a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，
∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，
∴，解得：，
∴b＝c＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
（2）（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2的值是负数，理由是：
∵△ABC的三边长为a，b，c，
∴a+b﹣c＞0，a+b+c＞0，a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，
（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2
＝（a2+b2﹣c2+2ab）（a2+b2﹣c2﹣2ab）
＝（a+b﹣c）（a+b+c）（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0．
24．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＞0，
∴k＜1．
（2）当k＝0时，原方程为x2+2x＝0，
即x（x+2）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2（答案不唯一）．
25．解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
26．解：x2﹣5x+12＝0
解得，x＝4或x＝6，
∵等腰三角形的两边之和为10，
∴当x＝4做底边时，则腰长为5，此时三角形的周长为：4+5+5＝14；
当x＝4作腰长时，则底边长为6，此时三角形的周长为：4+4+6＝14；
当x＝6作底边时，则腰长为5，此时三角形的周长为：5+5+6＝16；
当x＝6作腰长时，则底边长为4，此时三角形的周长为：4+6+6＝16